2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про Жордановы формы
Сообщение26.11.2007, 02:14 


26/11/07
38
Помогите, пожалуйста, разобраться, как решать такие задачи:

Найти Жорданову форму оператора а при следующих условиях

а) хар-кий мн-н: $t^5*(t-1)^2$
минимальный мн-н: $t^2*(t-1)$
$m(a^2)=m(a)+2$
где m(a) - макс. кол-во линейно независимых собственных векторов

б) $a^3=a^2$
$Ker(a) \cap Im(a) \neq 0$

в) хар-кий мн-н: $t^n$
$dim(Ker(a))=k$
$dim(Im(a^2))=n-k-1$

Что такое Жорданова форма, как ее получить из матрицы и подобные простые вещи я понимаю. Но вот торможу на том, например, как пользоваться условиями про макс кол-во линейно незав. с.в....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.11.2007, 11:18 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Про пункт а). Характеристический многочлен говорит нам, что в жордановой форме (нашей матрицы 7х7) на диагонали будет пять нулей и две единицы.
Теперь нужно понять, сколько каждому из этих с.з. соответствует жордановых клеток и каковы их размеры.

Сначала про $\lambda=1$. Так как в минимальный аннулирующий многочлен множитель $(t-1)$ входит в первой степени, то получается две клетки размера 1.

Теперь будем разбираться со значением $\lambda=0$. Здесь множитель $t$ входит в минимальный аннулирующий многочлен в степени 2, поэтому размеры клеток будут не больше 2. Осталось воспользоваться условием о связи максимального количества линейно независимых собственных векторов $A$ и $A^2$. Из него следует, что должно быть две клетки размера 2; остается одна клетка размера 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.11.2007, 11:46 


26/11/07
38
Gordmit писал(а):
Осталось воспользоваться условием о связи максимального количества линейно независимых собственных векторов $A$ и $A^2$. Из него следует, что должно быть две клетки размера 2; остается одна клетка размера 1.


Можно здесь поподробнее, как это следствие получается?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.11.2007, 17:31 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Если я не ошибаюсь, то это просто имеется в виду $\dim\mathrm{Im\,}A^2 = \dim\mathrm{Im\,}A + 2$, т.е. $\dim\mathrm{Ker\,}A^2 = \dim\mathrm{Ker\,}A - 2$, т.е. при возведении жордановой формы $A$ в квадрат должны обнулиться два столбца.

При возведении в квадрат жордановой клетки с ненулевым $\lambda$ никакие столбцы не обнуляются (т.е. $\dim\mathrm{Ker\,}A$ не меняется), а при возведении в квадрат клетки с нулевым с.з. обнуляется один столбец (если размер клетки больше 1). Соответственно, нам в данном случае нужно, чтобы обнулились два столбца, т.е. должны быть две жордановы клетки размера больше 1, отвечающие $\lambda=0$.

А т.к. размер клеток не может быть больше 2 (из предыдущего рассуждения), то отсюда мы заключаем, что единственно возможный вариант размеров клеток для $\lambda=0$ - (2, 2, 1).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.11.2007, 22:00 


26/11/07
38
Ясно, спасибо, с первой разобрался.

А как во второй воспользоваться условием про непустоту пересечения ядра и образа?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2007, 00:27 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Во второй задаче из приведенных условий, насколько я понимаю, следует лишь, что в жордановой форме могут быть только клетки вида $(0)$, $(1)$, $\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)$, причем последняя должна быть хотя бы одна. Больше ничего вывести не получилось.

То, что других клеток быть не может, следует из условия $a^3=a^2$.
А то, что клетка $\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)$ должна быть хотя бы одна, следует из условия о непустоте пересечения ядра и образа. Действительно, из него мы имеем $\exists y\neq 0$: $ay\neq 0$, $a^2y=0$. С другой стороны, если бы клеток такого вида не было, т.е. имеются лишь клетки $(0)$, $(1)$, то $a=a^2$, следовательно, $\forall y$ $ay=a^2y$. Противоречие.

Может быть, из этих условий можно вывести что-то еще, но что-то я сомневаюсь :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2007, 21:30 


26/11/07
38
Спасибо! С задачами разобрался. Во второй, прошу прощения, накосячил - оказывается, по условию пересечение ядра и образа как раз равно 0. Третья тоже не сложной оказалась, когда разобрался))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group