2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показательные уравнения и неравенства
Сообщение27.06.2014, 18:35 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, прошу помочь с решением показательных уравнений и неравенств (не буду плодить много тем, тут буду спрашивать только о простых)

$$ |x-3|^{x^2-x} = (x-3)^2 \Longleftrightarrow \left[
\begin{matrix}
x = -1\\
x = 2\\
x = 4
\end{matrix} \right.$$
Автор задачи рассматривает случаи $|x-3| = 1$ и $x^2 - x = 2$, но не рассматривает случай $|x - 3| =0$, т. е. $x=3$. Как по вашему должен выглядеть ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение27.06.2014, 18:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31050
Qazed в сообщении #880884 писал(а):
но не рассматривает случай $|x - 3| =0$,

Дело в том, что вещественность показателя подразумевает, что речь слева идёт о показательной именно функции. Которая при нулевом основании просто не определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение27.06.2014, 20:08 
Аватара пользователя


20/06/14
236
В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:
$$0^6 = 0^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 12:10 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Qazed в сообщении #880918 писал(а):
В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:
$$0^6 = 0^2$$

Это философский вопрос. Считаете, что решили правильно - значит автор учебника ошибся, точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 12:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31050
Qazed в сообщении #880918 писал(а):
В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:
$$0^6 = 0^2$$

Нет, так нечестно. В левой части допускаются показатели отнюдь не только шестёрки, но и произвольные вещественные, и даже (тихий ужас) нулевые. Соответственно, в область допустимых значений уравнения нулевые основания не попадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2451
Физтех
ewert в сообщении #881130 писал(а):
Соответственно, в область допустимых значений уравнения нулевые основания не попадают.

Обоснуйте. Вот когда в показателе, скажем, стоит 0 или отрицательное число, то да, в основании одновременно 0 стоять не может. Но когда в показателе стоит целое положительное число, то основание может быть и нулевым. Если в задании не идет речь о показательных функциях, то, я считаю, раз подстановка $x=3$ приводит к верному равенству, значит это решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 23:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31050
ShMaxG в сообщении #881535 писал(а):
Если в задании не идет речь о показательных функциях,

Идёт. Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.

Хотя... Можно, конечно, в условии задачи перебрать и все возможные случаи, в которых это выражение интерпретируется каким-то специальным образом. Попробуйте задачку переформулировать в этом духе. Трёх страниц Вам на это хватит?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение28.06.2014, 23:42 


19/05/10
3836
Россия
Ничего философского, как и показательных функций в уравнении нету. Согласно школьной программе ноль корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение29.06.2014, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2451
Физтех
ewert в сообщении #881563 писал(а):
Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.

Вот мне и не ясно это "следовательно". Равенство обращается в верное при подстановке значения $x=3$, значит это решение, по определению. При чем тут понятие показательной функции?

Смотрите. Вот есть степень, с основанием и показателем. Показатель может принимать нецелые значения. Отсюда вы делаете вывод, что для осмысленности задачи основание не может быть равно нулю ни в каком случае, даже когда в показателе -- целое число. Другими словами, вы так выбираете область значений основания, чтобы возведение в степень стало возможным при любом значении показателя. Но на мой взгляд, это какое-то дополнительное условие/ограничение, логически оно ниоткуда не следует.

-- Вс июн 29, 2014 01:55:48 --

ewert в сообщении #881563 писал(а):
Можно, конечно, в условии задачи перебрать и все возможные случаи, в которых это выражение интерпретируется каким-то специальным образом. Попробуйте задачку переформулировать в этом духе. Трёх страниц Вам на это хватит?...

Вот область определения функции в левой части, как я ее вижу:
$$\[\left[ \begin{gathered}
  {x^2} - x \in {\mathbb{Z}_ + } \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  {x^2} - x \notin {\mathbb{Z}_ + } \hfill \\
  x \ne 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]$$
При любых таких иксах выражение осмысленно. Действительно, либо мы возводим какое-то число (пусть даже 0) в целую положительную степень (вполне осмысленно), либо в другую степень -- и вот тут-то можно вспомнить про показательную функцию, причем тут все корректно, так как основание не равно нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение29.06.2014, 01:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
ТС, откуда задача?
ewert в сообщении #881563 писал(а):
Идёт. Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.
Я уже на примере темы с коммутативностью умножения понял, что на любое дебильное утверждение найдётся (псевдо)корректный способ его обоснования (что более удивительно --- желающий это обоснование делать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательные уравнения и неравенства
Сообщение29.06.2014, 16:44 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Спасибо, для себя я решил, что $x = 3$ является решением, несмотря на какую-то «философию» понятия «уравнение»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group