2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показательное неравенство с параметром
Сообщение23.06.2014, 18:44 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Привожу первое неравенство:
Решить для всех $\alpha$ неравенство
$$ 4^x - \alpha \cdot 2^x - \alpha + 3 \leqslant 0 $$
Пусть $2^x = q > 0$, тогда

$$ q^2 - \alpha \cdot q - (\alpha - 3) \leqslant 0 $$

$$\begin{eqnarray*}
D = \alpha^2 + 4\alpha - 12 
\Longleftrightarrow
\left[ 
\begin{matrix}
D \geqslant 0 \text{ и } \alpha \in (-\infty;-2] \cup [6,\infty)\\
D < 0  \text{ и } \alpha \in (-2; 6)
\end{matrix} \right. \Longleftrightarrow 
\left[ \begin{matrix}
\left[ 
\begin{matrix}
q = \dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2}\\ ~\\
q = \dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2}
\end{matrix}
\right.\\ ~\\
q \in \{\}
\end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$$


Так как $q > 0$, то

$$ q = \dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} >0 \Longleftrightarrow \alpha > 3 $$
График – парабола, ветви направлены вверх, тогда получаю
$$\begin{eqnarray*}
q \in \left[\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right]
\end{matrix} \Longleftrightarrow
x \in \left[\log_2\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\log_2\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right]

\end{eqnarray*}$$

Ответ:
$$ \boxed{\left[ \begin{matrix}
\alpha \in [6,\infty) \text{ и } x \in \left[\log_2\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\log_2\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right]\\
\alpha \in (-\infty; 6) \text{ и } x \in \{\} \right.
\end{matrix} }$$

Верен ли ответ? Прокомментируйте, пожалуйста, решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение23.06.2014, 19:53 
Аватара пользователя


20/06/14
236
При наборе потерял минус при извлечении корня из дискриминатна, править сообщение уже не могу. Если это возможно, то прошу модератора внести правку

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение23.06.2014, 20:03 


19/05/10
3927
Россия
Возьмите в исходном уравнении параметр равным 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение25.06.2014, 11:18 
Аватара пользователя


20/06/14
236
$$\alpha = 2 \Longleftrightarrow D = 0$$
Корни я посчитал неверно
$$ D \geqslant 0 \Longleftrightarrow \alpha \in (-\infty;-6) \cup (2; \infty) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение25.06.2014, 12:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Qazed в сообщении #879632 писал(а):
$$ D \geqslant 0 \Longleftrightarrow \alpha \in (-\infty;-6) \cup (2; \infty) $$

Скобки не те, но важнее другое: замена положительного корня с шестёрки на двойку очень существенно меняет ситуацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение25.06.2014, 20:42 


19/05/10
3927
Россия
Qazed, подставьте теперь в исходное уравнение вместо параметра четверку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение27.06.2014, 18:00 
Аватара пользователя


20/06/14
236
$$ \alpha = 4 \Longleftrightarrow D = 12 \Longleftrightarrow 
\left[ \begin{matrix}
a = 2+\sqrt{3} \\
a = 2-\sqrt{3}
\end{matrix} \right.  \Longleftrightarrow  a \in [ 2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}\ ] $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение28.06.2014, 23:38 


19/05/10
3927
Россия
Не понятно, $a$ это что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение29.06.2014, 14:43 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Простите, $a$ — это $q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение29.06.2014, 16:19 


19/05/10
3927
Россия
Там корень из 5 и логарифм от левого корня не считается.
Надо еще раз вернуться к неравенству, когда левый корень больше нуля.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group