2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мультипликативные оценки норм производных
Сообщение25.06.2014, 15:11 


24/04/14
3
Помогите доказать(с чего вообще начать, какие-то шаги) или найти литературу, где можно почитать по поводу мультипликативных оценок норм производных в $L_p$ и $C$

Должно выглядеть примерно так:
$\| u'(x)\| = M \|u(x)\|^{1/2}$ ${\|u'(x)\|}^{1/2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативные оценки норм производных
Сообщение25.06.2014, 15:14 


10/02/11
6786
http://en.wikipedia.org/wiki/Gagliardo% ... inequality

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативные оценки норм производных
Сообщение25.06.2014, 19:07 


24/04/14
3
Oleg Zubelevich
Спасибо. Да, про неравенства Гальярдо-Ниренберга знаю. Но не смог найти док-во почему так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативные оценки норм производных
Сообщение25.06.2014, 19:41 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Существует один очень простой подход. Заодно получим соотношения на параметры
Пусть у нас есть оценка
$\|u\|_p \leqslant C(\|u\|_q + \|\nabla u\|_r )$
Пусть $v(x)$ - гладкая финитная функция. Положим $u(x) = v(\lambda x)$. Тогда
$\frac {\|v\|_p}{\lambda^{n/p}} \leqslant C(\frac {\|u\|_q}{\lambda^{n/q}} + \frac {\|\nabla u\|_r }{\lambda^{(n-r)/r}})$
Или
$\|v\|_p \leqslant C \lambda^{-n/p} \left ( \frac {\|v\|_q}{\lambda^{n/q}} + \frac {\|\nabla v\|_r }{\lambda^{(n-r)/r}} \right ) $

В силу произвольности $\lambda$ должны выполнятся либо
$\frac{1}{q } \leqslant \frac{1}{p} \leqslant \frac{1}{r} - \frac{1}{n}$
либо
$\frac{1}{r} - \frac{1}{n} \leqslant \frac{1}{p} \leqslant \frac{1}{q }$
После этого достаточно найти минимум правой части по $\lambda$.
Для более высоких производных рассуждения абсолютно аналогичны.
А вообще, как оказывается, существует один простой подход, позволяющий единообразно (!) получать неравенства Харди, Карлсона и мультипликативные неравенства в анизотропных пространствах Соболева.
(я там в формулах пару опечаток поправил)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативные оценки норм производных
Сообщение25.06.2014, 19:43 


24/04/14
3
sup
Спасибо большое! Сейчас попробую разобраться. Можно к вам, в случае проблем, обратиться за помощью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативные оценки норм производных
Сообщение25.06.2014, 19:55 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Обращайтесь. Только у меня отвратительная связь и, возможно, ответы будут только завтра.
А вообще, я может быть небольшой текст на эту тему напишу (в отдельной теме).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативные оценки норм производных
Сообщение25.06.2014, 19:55 


10/02/11
6786
M Taylor Partial Differential Equations том 3

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group