2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория групп 3
Сообщение22.06.2014, 20:07 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Прошу пожалуйста проверить решение задачки. Уж больно просто получилось.

Задача. Покажите, что никакая группа не раскладывается нетривиальным образом одновременно в прямое и в свободное произведение.

Решение. Пусть группа $G$ разложилась в прямое и свободное произведение нетривиальных групп $A$ и $B$. Тогда любой элемент $g \in G$ представляется в виде (в силу прямоты произведения) $g = (a, b), a \in A, b \in B$. Возьмем элементы $(a, 1), (1, b)$. Они коммутируют, значит их коммутатор равен единице, в то же время в свободном произведении их коммутатор - несократимое слово. Противоречие.

Может быть я неправильно понял задачу? Может быть не подразумевалось, что группа раскладывается одинаково? Но контрпример я как-то привести не смог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение22.06.2014, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Да уж! Наверное, подразумевалось, что прямое произведение одних групп, а свободное - каких-то других. И что вот этого не может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение22.06.2014, 22:36 
Аватара пользователя


14/12/13
119
ИСН, хм, а как тогда это доказать? Интуитивно ясно, что если группа разложилась в прямое произведение, то там много что с чем коммутирует, а вот в свободном произведении такого добра мало. Как это формально доказать - не знаю как-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 06:55 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Пусть $G=A\times B = C\ast D$, $A,B,C,D \leq G$. Что, если рассмотреть коммутатор элементов из $A\cap C$ и $B\cap D$? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 09:35 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Sonic86, получится то же самое, что и я написал, если оба пересечения нетривиальные.
Если же хотя бы одно пересечение тривиально, то хм... ну как-то не особо уже проходит рассуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Если хотя бы одно пересечение тривиально, то переназовите группы по-другому. Если и это не помогает, то... как же тогда "расположены" эти группы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 12:26 
Аватара пользователя


14/12/13
119
ИСН, естественно, я полагал, что и с переназванием пересечение тривиально.
Как-то даже если все со всем тривиально пересекается - не получается. Такое бывает, что две подгруппы прямо перемножаются, но в их произведении лежат куча подрупп, тривиально с ними пересекающиеся.

Вот какие мысли у меня еще появились. Пусть группа $C$ - состоит из каких-то пар $(a, b)$, группа $D$ из $(a', b')$. Так как произведение свободное, то не должно быть никаких соотношений между элементами. Все порождается, значит и некоторый элемент $(1, e)$ породится. $(1, e) = (a_1a_1'a_2a_2'..., b_1b_1'b_2b_2'...)$. Также порождается элемент $(1, e^{-1})$. Значит их произведение будет $(1, 1)$. Мы нашли некоторое нетривиальное соотноешние. Единственное, я в этом рассуждении спрятал 1001 подводный камень. Плохо, если начнутся вдруг сокращения (если начиналось, например, и заканчивалось слово на элементы из $C$). Плохо, если элемент $e$ имел порядок $2$ и слово получилось симметричным, тогда все со всем посокращается. Верится, что все случаи рассмотреть можно, но какое-нибудь элегантное решение хотелось бы увидеть...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Чёрт, да, могут тривиально пересекаться все со всеми, и ничего.
А в Вашем рассуждении я не вижу причин, почему бы всё со всем не посокращалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 18:20 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Курош А.Г. Теория групп, гл. IX, пар. 35.
Пусть $A \times B = C \ast D$. Сначала, используя теорему о подгруппах свободных произведений, доказываете, что группы $A$ и $B$ свободные (собственно, это основной шаг, у Куроша доказательство этой теоремы занимает почти 7 страниц). Отсюда компоненты групп $C$ и $D$ в группах $A$ и $B$ изоморфны группам $C$ и $D$, откуда $C$ и $D$ также свободные группы и сама группа $G$, следовательно, свободная. Ну а дальше невозможность разложения свободной группы в прямое произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 20:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
:shock: А проще неужели нельзя? Или м.б. есть короткие варианты доказательства?
Я вот нашел абелеву подгруппу в $G$, но дальше мне это не помогло. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 21:11 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Sonic86 в сообщении #878877 писал(а):
Или м.б. есть короткие варианты доказательства?

7 листов занимает доказательство теоремы о строении подгрупп свободного произведения. А нужное нам утверждение потом доказывается максимум на треть страницы. Куда уж короче :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 22:02 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Sonic86, мне рассказали простое решение. Как будет время - напишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп 3
Сообщение23.06.2014, 23:42 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Простое доказательство следующее.
Пусть у нас группа разложилась в $G = A \times B = C * D$, посмотрим на нее со стороны прямого произведения. Возьмем какой-то элемент $(a, b)$, несложно заметить, что централизатор этого элемента будет $C(a) \times C(b)$ - прямое произведение централизаторов. Возьмем элемент из свободного произведения $cd$, несложно заметить, что он коммутирует лишь со своими степенями, а значит его централизатор изоморфен бесконечной циклической группе. Но бесконечная циклическая группа не раскладывается в прямое произведение, как известно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group