2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 13:39 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

вот еще философический вопрос: сила это вектор или ковектор? В формуле $ma=F$ это вектор, потому, что ускорение --вектор. А обобщенная сила на конфигурационном многообразии это ковектор. Если хочется чтоб было однообразно, то можно в формуле $ma=F$ счиать силу ковектором у которого там невидимый метрический тензор подрисован, который интекс поднимает.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #876738 писал(а):
вот еще философический вопрос: сила это вектор или ковектор?

Конечно, ковектор. А в уравнении $F=ma$ метрический тензор спрятан в массе. В общем случае масса - тензор, например, в твёрдом теле для квазичастиц. Кстати, для уравнения $F=\dot{p}$ даже вопроса такого не возникает, потому что импульс тоже ковектор.

Все физики это знают (ну, по крайней мере все, знакомые с ковекторами).

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 14:13 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Это уже высокие материи. :D В рамках классической механики можно считать силу вектором, а массу скаляром, противоречий не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #876748 писал(а):
Это уже высокие материи. В рамках классической механики можно считать силу вектором, а массу скаляром, противоречий не возникает.

В рамках классической - то же самое. Сила стоит в правой части уравнений Лагранжа второго рода, а масса - это коэффициент в кинетическом члене функции Лагранжа. Опять ковектор и тензор. Да и вообще, сила как градиент потенциала ну всегда будет ковектором.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 15:38 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Могу только сообщить принятую в учебниках по теормеху терминологию.

Второй закон Ньютона: $m\overline a=\overline F$ -- сила вектор, ускорение -- вектор, масса -- скаляр. Это первично.

Уравнения Лагранжа пишутся для системы материальных точек $m_1,\ldots, m_N$ с радиус-векторами $\overline r_1,\ldots,\overline r_N$. Радиус-векторы зависят от обобщенных координат $\overline r_i=\overline r_i(q^1,\ldots, q^m),\quad m\le 3N$ (могут еще и от времени зависеть, это опустим)
В уравнениях Лагранжа фигурируют обобщенные силы. По определению, обобщенная сила это
$$Q_k(q^1,\ldots, q^m)=\sum_i\Big(\overline F_i,\frac{\partial \overline r_i}{\partial q^k}\Big)$$
-- ковекторное поле на $m-$мерном многообразии с локальными координатами $q$. Скалярное произведение берется в смысле стандартной евклидовой метрики в $\mathbb{R}^3$.
(там еще выделяют активные силы и силы реакций идеальных связей это тоже опустим)

Пусть теперь у нас имеется одна частица с радиус-вектором $\overline r=(x^1,x^2,x^3)$ -- декартовы координаты материальной точки в нашем физическом пространстве, они же обобщенные координаты. Имеем
$$Q_k=\Big(\overline F,\frac{\partial \overline r}{\partial x^k}\Big)=F^ig_{ik}$$ -- ковектор.
Если сила потенциальна, то в данном формализме это означает, что $F^i=-g^{ij}\frac{\partial V}{\partial x^j}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

0. Учебники по теормеху пишутся так, чтобы не требовать от читателя знания дифгема. Исключения: учебник Арнольда; всякие modern/advanced изложения (по-русски таких практически нет).

Далее.
Oleg Zubelevich в сообщении #876777 писал(а):
Второй закон Ньютона: $m\overline a=\overline F$ -- сила вектор, ускорение -- вектор, масса -- скаляр. Это первично.

Ну неправда. Второй закон Ньютона $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ - вот что первично. Это общий закон природы, а $\overline{p}=m\overline{v}$ - частный факт. Это очень важно в физике: этот частный факт исчезает и в обобщённых координатах, и в твёрдом теле, и в релятивистской механике. А закон $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ везде остаётся. Форма $m\overline{a}=\overline{F}$ простительна только тем, кто физиком быть не собирается: школьникам, студентам нефизических специальностей.

Oleg Zubelevich в сообщении #876777 писал(а):
Уравнения Лагранжа пишутся для системы материальных точек $m_1,\ldots, m_N$ с радиус-векторами $\overline r_1,\ldots,\overline r_N$.

Вы не хуже меня знаете, что это не так. Это всего лишь способ познакомить студентов с уравнениями Лагранжа, но не их определение. Например, уравнения Лагранжа можно записать для тяжёлого стержня, а вот указанной системой (конечного числа) материальных точек он не является. Про уравнения Лагранжа для непрерывной среды даже не вспоминаю.

Oleg Zubelevich в сообщении #876777 писал(а):
Скалярное произведение берется в смысле стандартной евклидовой метрики в $\mathbb{R}^3$.

Ну и наконец, если есть евклидово скалярное произведение, то какая вообще разница между ковекторами и векторами?


-- 18.06.2014 17:30:27 --

(Оффтоп)

n. Понятно, что по определениям метрический тензор можно гонять туда и сюда. Смысла в этом немного. Что можно сделать (и что обычно делают), когда метрический тензор недоступен, я сказал. В учебниках по теормеху вы этого не найдёте (см. п. 0), как не найдёте и противоречащих этому утверждений.


-- 18.06.2014 17:34:09 --

(Оффтоп)

nn. Тот теормех, который используют физики, изложен в учебниках по теории поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 17:05 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #876793 писал(а):
Ну неправда. Второй закон Ньютона $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ - вот что первично. Это общий закон природы, а $\overline{p}=m\overline{v}$ - частный факт. Это очень важно в физике: этот частный факт исчезает и в обобщённых координатах, и в твёрдом теле, и в релятивистской механике. А закон $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ везде остаётся. Форма $m\overline{a}=\overline{F}$ простительна только тем, кто физиком быть не собирается: школьникам, студентам нефизических специальностей.

я не спорю, я просто излагаю точку зрения ,принятую в учебниках термеха , я с этого начал. Пока нет ТО это все, что в лоб, что по лбу: $m=const$.
Munin в сообщении #876793 писал(а):
Это всего лишь способ познакомить студентов с уравнениями Лагранжа, но не их определение

это именно определение ( в теормехе)
Munin в сообщении #876793 писал(а):
Например, уравнения Лагранжа можно записать для тяжёлого стержня, а вот указанной системой (конечного числа) материальных точек он не является

Замените суммы на интеграл Лебега, только и всего. Получатся универсальные формулы и для твердого тела и для материальных точек. Так Вильке делает в своем курсе
Munin в сообщении #876793 писал(а):
Про уравнения Лагранжа для непрерывной среды даже не вспоминаю.

это понятно, что основы везде общие, но подробности разные, Уравнения в частных производных и обыкновенные диф. уравнения это очень разные объекты и проблематика разная, математика разная. Кроме того, применение вариационных методов в МСС, как я понимаю, вообще очень ограничено, из-за термодинамики. Поэтому про МСС в данном контексте может и не надо вспоминать

Munin в сообщении #876793 писал(а):
Ну и наконец, если есть евклидово скалярное произведение, то какая вообще разница между ковекторами и векторами?

вот именно

Munin в сообщении #876793 писал(а):
Тот теормех, который используют физики, изложен в учебниках по теории поля.

очень хотелось бы повысить свое образование по физике в особенности по ТО и по квантам, если бы увидел учебник написанный на уровне строгости Арнольда, обязательно почитал бы

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #876802 писал(а):
Пока нет ТО это все, что в лоб, что по лбу: $m=const$.

Я перечислил несколько примеров, когда это не так, и ТО была только одним из них. Добавлю ещё: присоединённая масса при движении в жидкости или газе.

Oleg Zubelevich в сообщении #876802 писал(а):
это именно определение ( в теормехе)

Смотря по каким учебникам. Может, по вашему любимому - и определение. Не буду настаивать.

Oleg Zubelevich в сообщении #876802 писал(а):
очень хотелось бы повысить свое образование по физике в особенности по ТО и по квантам, если бы увидел учебник написанный на уровне строгости Арнольда, обязательно почитал бы

Боюсь, таких нет или почти нет.

Есть
Фаддеев, Якубовский. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.
но я его не читал, так что рекомендовать не возьмусь.

Довольно тщательно (на взгляд нематематика) составлен трёхтомник
Вайнберг. Квантовая теория поля (полей). (Разные переводы по-разному, в оригинале Quantum theory of fields.)

По ТО я совершенно не готов что-то порекомендовать. Может быть,
Пенроуз. Структура пространства-времени. (Я читал не все главы.)
Петров А. З. Пространства Эйнштейна. (Не читал вообще.)

И вообще, попробуйте вот эту книгу:
Пенроуз. Путь к реальности.
Если не обращать внимания на авторские обозначения тензорных произведений, то это большой сборный учебник по куче глав теорфизики. Начало книги, разумеется, можете пропустить, разве что только ознакомиться с обозначениями. Начинать стоит с глав 13 (может быть, не нужна), 15 (важная терминология), 17 и далее везде. Главы 30 и 33 - в некоторой степени отсебятина.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 18:11 


10/02/11
6786
спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
И ещё, есть отдельная проблема непонимания/неприятия физики математиками, "неуклюжести" в физике. Она комментировалась многократно крупными специалистами. Я на эту тему тоже высказывался, но конечно, со своего шестка: post839807.html#p839807 (конкретно это сообщение). В общем, это стоит иметь в виду как подводный камень.

В общем, суть в том, что строгость в физике не стоит на первом месте. На первом месте стоит соответствие экспериментам.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение18.06.2014, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Кстати, в той теме тоже много литературы хорошей упомянуто, причём столько, что глаза разбегаются. Я всё больше склоняюсь к тому, чтобы рекомендовать Пенроуза "Путь к реальности" как хотя бы путеводитель по разным разделам - а то будет непонятно, что куда и зачем.

-- 18.06.2014 23:42:42 --

+ post841644.html#p841644

-- 18.06.2014 23:52:02 --

+ post842286.html#p842286

-- 19.06.2014 00:04:13 --

+ post842864.html#p842864
чёрт, много как. Не сочтите за самолюбование (тем более что там не только я).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group