2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение16.06.2014, 21:32 


11/03/14
46
Решить в $D'$ уравнение: $xF=e^{|x|}$
Решил начать с простого
$xF=0$
$(xF.\varphi)=(F,x\varphi)=0$
Ну вроде бы понятно $(\delta(x),x\varphi)=0$ А как это показать?
Тогда исходное уравнение я наверное пойму как решать. Подскажите пожалуйста?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение16.06.2014, 22:52 


10/02/11
6786
наверное что-нибудь типа
$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение16.06.2014, 23:41 


11/03/14
46
Oleg Zubelevich в сообщении #876229 писал(а):
наверное что-нибудь типа
$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

Это как то получилось из этого $\int xF \varphi dx= \int e^{|x|}\varphi dx$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 11:43 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Vanilin в сообщении #876196 писал(а):
Решил начать с простого
$xF=0$
$(xF.\varphi)=(F,x\varphi)=0$
Ну вроде бы понятно $(\delta(x),x\varphi)=0$ А как это показать?


Сначала стоит задаться вопросом: а что это такое $F \in D'$ ?
А это просто линейный функционал, который каждой $\varphi \in D$ ставит в соответствие некое число. Вот Вам и надо разобраться какое число сопоставляется этим элементам.
Вот Вы видели, что функциям вида $x\varphi (x)$ ставится в соответствие 0. Но это же не все функции из $D$. Как насчет всех остальных? Как устроены эти самые "все остальные"? Оказывается имеет место некое простое представление элементов из $D$. После чего легко выписывается общий вид всякого такого $F$. Тут то и выяснится, что это просто дельта-функция (с точностью до множителя).
Потом можно аналогично решать и задачу с $e^{|x|}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 11:47 


10/02/11
6786
а я думаю, что иногда надо просто рассуждать по мужицки $xF=e^{|x|}\Longrightarrow F=$e^{|x|}/x$. И потом уже подумать какой смысл имеет это выражение в терминах обобщенных функций.
ТС: не забудьте непрерывность функционала на $D$ проверить, и доказать единственность решения (ну и конечно проверить, что это действительно решение)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 11:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Vanilin в сообщении #876196 писал(а):
Ну вроде бы понятно $(\delta(x),x\varphi)=0$ А как это показать?

Представить произвольную пробную функцию как $\psi=\psi(0)\cdot\varphi_0+x\varphi$, где $\varphi_0$ -- некоторая фиксированная функция и $\varphi$ -- тоже пробная. Тогда $$(F,\psi)=\psi(0)\cdot(F,\varphi_0)+(F,x\varphi).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 12:00 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Oleg Zubelevich в сообщении #876348 писал(а):
а я думаю, что иногда надо просто рассуждать по мужицки

Не сочтите за лесть, но у Вас, я думаю, рассуждать по-мужицки запросто получится. А вот насчет ТС я не так уверен. :wink: Кроме того, мне кажется, что в данном случае формальный подход резко проясняет ситуацию. А то уравнение, разрешимость. А речь то идет об продолжении функционала, заданного на гиперподпространстве.

-- Вт июн 17, 2014 15:03:03 --

Как всегда в таких случаях, он дал себе зарок не прикасаться к спиртному, задача вполне успешно решается даже при полном отсутствии ТС :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 12:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sup в сообщении #876353 писал(а):
А вот насчет ТС я не так уверен. :wink:

Ну так ТС же совершенно открытым текстом намекнул, что для него вопрос упирается именно в однородное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 14:10 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Oleg Zubelevich в сообщении #876229 писал(а):
наверное что-нибудь типа
$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

и еще к этому $+C\delta$, где $C=\operatorname{const}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 15:45 


10/02/11
6786
дык я не против, это всплыло бы на этапе
Oleg Zubelevich в сообщении #876348 писал(а):
доказать единственность решения


-- Вт июн 17, 2014 16:40:08 --

по-моему здесь удобней всего использовать теорему о множителях Лагранжа

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение17.06.2014, 18:29 


11/03/14
46
Padawan в сообщении #876401 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #876229 писал(а):
наверное что-нибудь типа
$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

и еще к этому $+C\delta$, где $C=\operatorname{const}$

Мне преподаватель тоже сказал, что возникает это слагаемое и потом обнуляется(да и в ответе без него). А откуда оно появилось?(

sup в сообщении #876347 писал(а):
Вот Вы видели, что функциям вида $x\varphi (x)$ ставится в соответствие 0. Но это же не все функции из $D$. Как насчет всех остальных? Как устроены эти самые "все остальные"? Оказывается имеет место некое простое представление элементов из $D$. После чего легко выписывается общий вид всякого такого $F$. Тут то и выяснится, что это просто дельта-функция (с точностью до множителя).
Потом можно аналогично решать и задачу с $e^{|x|}$

Вы имеете ввиду Имеется функционал $ F: \varphi \to (F,\varphi)$ со свойством $|(F,\varphi)|\leqslant Cp_{n,N}(\varphi)$
Ну вроде ясно $F:x\varphi \to (e^{|x|},\varphi)$ тогда $\varphi \to v.p.\frac{e^{|x|}}{x}$ Опять же возникает константа откуда-то и обнуляется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение18.06.2014, 10:06 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
У Вас какая-то путаница. Вы же вроде собрались разобраться с уравнением $xF = 0$. А тут заговорили о $xF = e^{|x|}$.
Ну да ладно.
1. Вы же наверняка в курсе, как решают неоднородные уравнения. Общее решение - это сумма частного плюс общее решение однородного. Так что мимо уравнения $xF = 0$ Вам не проскочить.
2. Как искать частное решение? Да как угодно. Просто "угадаем".
Для начала, что такое $xF$ ? Это распределение, действующее по правилу $(xF,\varphi) = (F,x\varphi)$. Что значит $xF = e^{|x|}$ ? Это значит, что $(F,x\varphi) = \int e^{|x|}\varphi dx$.
Положим $\psi = x\varphi$. Для таких $\psi$ действие функционала $F$ определено (по формуле $(F,\psi) = \int e^{|x|}\varphi dx$). Отсюда вопросы. Что это за функции $\psi$? Как их можно охарактеризовать? Что это за множество $\Psi$ таких функций? Как оно соотносится с $D$?
Коль скоро Вы ответите на эти вопросы, следующий шаг такой. Про функционал $F$ мы знаем, что на $\Psi$ он определен по формуле $(F,\psi) = \int \frac {e^{|x|}\psi} {x} dx$. Продолжите его КАК-НИБУДЬ на все $D$. Вот и получится частное решение. Вот здесь надо чего-нибудь придумать. Благо уже и подходящая формула имеется (ну та, в смысле главного значения).
3. И вот снова однородное уравнение. Надо найти его общее решение. И опять-таки, искомый функционал уже задан на некотором линейном подпространстве $D$. Надо лишь сообразить, что способов продолжить его на все $D$ не так уж и много. Пост ewert Вам в помощь.
4. Единственность. Так она есть или её таки нет? Коль скоро у Вас будет общее решение, гадать не придется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан.Уравнение.Обобщенные функции.
Сообщение18.06.2014, 11:24 


11/03/14
46
Спасибо sup за подробный ответ все стало ясно)
А все таки ответ получим $F=v.p \frac{e^{|x|}}{x}+C\delta$ (хотя в ответе учебника написано $F=v.p \frac{e^{|x|}}{x}$)

(Оффтоп)

Хотя наверняка я чего то не понял(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group