2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матожидание
Сообщение16.06.2014, 14:25 


12/10/12
134
Здравствуйте, проверьте, пожалуйста мои рассуждения.
Задача:
Пусть есть число $x=1$. За одну итерацию число с вероятностью $\frac 1 2$ умножается на $a=0.5$ и
с вероятностью $\frac 1 2$ на $b=1.5$.
Найти матожидание числа $x$ за $n$ итераций.
Решение.
По формуле полной вероятности:
$M(x)=(\frac 1 2)^{n} \cdot a^{n} \cdot b^{0} \cdot C_n^0+(\frac 1 2)^{n} \cdot a^{n-1} \cdot b^{1} \cdot C_n^1+...+(\frac 1 2)^{n} \cdot a^{0} \cdot b^{n} \cdot C_n^n=(\frac 1 2 \cdot a + \frac 1 2 \cdot b)^n=1^n=1$

Т.е. в среднем ожидаем 1.

В среднем умножений на $a$ и на $b$ одинаковое количество$a \cdot b<1$. Значит со временем $x$ стремится к нулю.
Я это запрограммировал. $n=100000$ и запустил несколько раз
Изображение

Почему же матожидание равно 1? Или я не правильно посчитал матожидание? Вроде понятно, что 1 должно получаться из-за больших значений $x$ при множителей $b$ больше, чем $a$. Но все равно, что-то мне не нравится.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.06.2014, 14:33 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Запишите все формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.06.2014, 16:10 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание
Сообщение16.06.2014, 16:13 


12/06/14
61
Сант-Петербург, Россия
А что в Вашей распечатке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание
Сообщение16.06.2014, 16:20 


12/10/12
134
V_I_Sushkov в сообщении #876062 писал(а):
А что в Вашей распечатке?

Это чему равен $M(x)$, при $n=1000\$. Одна строка - один запуск программы. Выше я ошибся, там$ n=1000$. При $a=0.95$ и $b=1.05$ было равно $n=100000$ результат примерно такой же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание
Сообщение16.06.2014, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
$M(x)$, как Вы указали в самом начале, равен единице. Так что в распечатке-то? Может, среднее по какой-то выборке? Какой, на сколько штук?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание
Сообщение16.06.2014, 17:07 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Пусть выполнено $2\,N$ умножений. В среднем (не будем пока пользовать страшные термины вроде "матожидания") число будет умножено $N$ раз на $0.5$ и $N$ же раз - на $1.5$. Тем самым оно будет уможено на $0.5^N \cdot 1.5^N = (0.5 \cdot 1.5)^N = 0.75^N$, что при $N \to \infty$, очевидно, стремится к нулю. И чему же Вы удивляетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание
Сообщение16.06.2014, 17:27 


12/10/12
134
ИСН в сообщении #876070 писал(а):
$M(x)$, как Вы указали в самом начале, равен единице. Так что в распечатке-то? Может, среднее по какой-то выборке? Какой, на сколько штук?


Да, вы меня раскусили, это даже не выборочное среднее, это всего лишь единичные значения $x$ после тысячи итераций.
Добавил усреднение по выборке объема 1000. Получил почти тоже самое.

На всякий случай, код на питоне:
http://ideone.com/6WhWT1

-- 16.06.2014, 18:30 --

Pphantom в сообщении #876095 писал(а):
Пусть выполнено $2\,N$ умножений. В среднем (не будем пока пользовать страшные термины вроде "матожидания") число будет умножено $N$ раз на $0.5$ и $N$ же раз - на $1.5$. Тем самым оно будет уможено на $0.5^N \cdot 1.5^N = (0.5 \cdot 1.5)^N = 0.75^N$, что при $N \to \infty$, очевидно, стремится к нулю. И чему же Вы удивляетесь?


То что произведение стремится к нулю вроде понятно. Но ведь и матожидание тоже должно стремиться к нулю? Почему оно не стремится? Или я не правильно посчитал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание
Сообщение16.06.2014, 18:05 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
R_e_n в сообщении #876103 писал(а):
То что произведение стремится к нулю вроде понятно. Но ведь и матожидание тоже должно стремиться к нулю? Почему оно не стремится? Или я не правильно посчитал?

А почему Вы уверены, что наиболее вероятный результат и матожидание - это одно и то же?

Можно рассмотреть простой пример. Пусть есть лотерея, в которой в среднем один участник из миллиона выигрывает миллиард каких-то денег, а все остальные - ничего. Матожидание выигрыша - один миллион денег. Наиболее вероятный результат - нуль. Статистика по десятку тысяч любителей поиграть тоже с большой вероятностью даст нуль. Ничего не напоминает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание
Сообщение16.06.2014, 18:23 


12/10/12
134
Pphantom в сообщении #876124 писал(а):
R_e_n в сообщении #876103 писал(а):
То что произведение стремится к нулю вроде понятно. Но ведь и матожидание тоже должно стремиться к нулю? Почему оно не стремится? Или я не правильно посчитал?

А почему Вы уверены, что наиболее вероятный результат и матожидание - это одно и то же?

Можно рассмотреть простой пример. Пусть есть лотерея, в которой в среднем один участник из миллиона выигрывает миллиард каких-то денег, а все остальные - ничего. Матожидание выигрыша - один миллион денег. Наиболее вероятный результат - нуль. Статистика по десятку тысяч любителей поиграть тоже с большой вероятностью даст нуль. Ничего не напоминает?


Да, спасибо, я понял:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group