2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Образ окружности при дробно-линейном отображении
Сообщение16.06.2014, 12:37 


16/06/14
4
Добрый день. Задание такое:

Найти образ окружности $x^2+y^2+2x-2y+1=0$ при отображении $w=\frac{1}{z}$.

Проблема в следующем:

При решении использовал $x=\frac{z+z^*}{2}$ и $y=\frac{z-z^*}{2i}$

Получил $z(1+i)+z^*(1-i)+1=0$

Исходя из $z=\frac{1}{w}$ и $z^*=\frac{1}{w^*}$ получил
$(1+i)w^*+(1-i)w+ww^*=0$. $w=u+iv$, $w^*=u-iv$, $ww^*=u^2+v^2$

В итоге $2u+2v+u^2+v^2=0$

Исходная окружность не проходит через ноль, образ - проходит, но не должен. Что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ окружности при дробно-линейном отображении
Сообщение16.06.2014, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я бы по-простому делал, без сопряжённых. Что это за окружность, где её центр, каков радиус? А теперь найдите на ней три точки (любые). Ну и куда они переходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ окружности при дробно-линейном отображении
Сообщение16.06.2014, 13:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
В данном случае -- достаточно двух точек (на луче, проходящем через центр).

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ окружности при дробно-линейном отображении
Сообщение16.06.2014, 13:21 


16/06/14
4
ИСН в сообщении #875995 писал(а):
Я бы по-простому делал, без сопряжённых. Что это за окружность, (1) где её центр, (2) каков радиус? (3) А теперь найдите на ней три точки (любые). (4) Ну и куда они переходят.


(1). $O(-1;1)$
(2). $R=1$
(3). $A(-1,0), B(0,1), C(-1,1)$
(4). И как это выяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ окружности при дробно-линейном отображении
Сообщение16.06.2014, 13:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
И, кстати:

Quawetim в сообщении #875993 писал(а):
Получил $z(1+i)+z^*(1-i)+1=0$

Этого не может быть, т.к. этого не может быть никогда.

Quawetim в сообщении #875998 писал(а):
(3). A(-1,0), B(0,1), C(-1,1)
(4). И как это выяснить?

Разделить на них. Бы, если бы они все три лежали на окружности. Что, увы, не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ окружности при дробно-линейном отображении
Сообщение16.06.2014, 13:36 


16/06/14
4
ewert в сообщении #876000 писал(а):
И, кстати:

Quawetim в сообщении #875993 писал(а):
Получил $z(1+i)+z^*(1-i)+1=0$

Этого не может быть, т.к. этого не может быть никогда.



Да, уже нашел ошибку, $4zz^*$ потерял. Должно быть $zz^*+z+z^*+iz-iz^*+1=0$

Раза три перерешивал и каждый раз одна и та же ошибка была.

Образ получился $2u+2v+u^2+v^2+1=0$ и теперь хоть похож на правду.

ewert в сообщении #876000 писал(а):
И, кстати:

Quawetim в сообщении #875998 писал(а):
(3). A(-1,0), B(0,1), C(-1,1)
(4). И как это выяснить?

Разделить на них. Бы, если бы они все три лежали на окружности. Что, увы, не так.


$ C(-1,2)$

И получается
$A\to-1$
$B\to\frac{1}{i}$
$C\to\frac{1}{-1+2i}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ окружности при дробно-линейном отображении
Сообщение16.06.2014, 13:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Quawetim в сообщении #876003 писал(а):
Должно быть $zz^*+z+z^*+iz-iz^*+1=0$

Допустим (не проверял), но это совершенно не нужно. В таких задачах действительно строить нужно по точкам. Проще всего -- по двум, лежащим на диаметре, переходящем тоже в диаметр. Здесь такие две точки очевидны.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.06.2014, 13:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Quawetim
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.06.2014, 14:31 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group