Доказательство одного факта про интерполяционные полиномы

[_Ivana]

Недавно в этой теме я опытным путем обнаружил один имхо забавный факт, который скорее всего уже давно известный велосипед, но я не обнаружил его упоминания в литературе. Тогда я подумал, что его доказательство мне будет не по силам, и даже не предпринимал попытки. Но сегодня решил попробовать, и получилось простое и даже тривиальное доказательство.
Напомню формулировку факта: пусть мы имеем интерполяционный полином, построенный по некоторым значениям на четном количестве точек равномерной сетки

$$x_{-k}, x_{-(k-1)},...x_0, x_1,...x_{(k-1)}, x_{k}, x_{(k+1)}$$

. Тогда все четные производные этого полинома в точке $x_0$ совпадают с производными тех же порядков интерполяционного полинома, построенного по точкам

$$x_{-k}, x_{-(k-1)},...x_0, x_1,...x_{(k-1)}, x_{k}$$

, а в точке $x_1$ - полинома, построенного по точкам

$$x_{-(k-1)},...x_0, x_1,...x_{(k-1)}, x_{k}, x_{(k+1)}$$

. Из этого факта в плане практики следует более простой и оптимальный алгоритм построения интерполяционного полинома по исходному набору точек, а в плане теории, например, что у построенной по кускам интерполирующих полиномов на каждом центральном интервале интерполирующей функции все производные четных порядков, включая нулевую, будут или непрерывны, или иметь устранимые точки разрыва лишь в узлах интерполяции.

Собственно, доказательство. Рассмотрим функцию на равномерной сетке из нечетного количества точек - сделаем смещение аргумента, приводящее аргумент центрального узла в $0$:

$$x_{-k}, x_{-(k-1)},...0,...x_{(k-1)}, x_{k}$$

. Существует ее единственный интерполяционный полином $P_0(x)$. Добавим к этому набору точек еще одну справа $x_{(k+1)}$. Интерполяционный полином на расширенном наборе точек при условии равномерной сетки можно представить в форме ньютона

$$P_1(x) = P_0(x) + A(x-x_{-k})(x-x_{-(k-1)})....(x-0)....(x-x_{(k-1)})(x-x_{k})$$

, где $A$ - некая константа, в данном случае не важно как вычисляющаяся. В силу равномерности сетки

$$-x_{-i} = x_i$$

, значит

$$P_1(x) = P_0(x) + A(x^2-x_{k}^2)(x^2-x_{(k-1)}^2)....(x^2-x_1^2)(x-0)$$

. Очевидно, что в правой части стоит сумма $P_0(x)$ и полинома с ненулевыми коэффициентами только при нечетных степенях аргумента. Значит, коэффициенты при четных степенях у полиномов $P_1(x)$ и $P_0(x)$ совпадают, а все четные производные любого полинома в нуле определяются только соответствующим его коэффициентом при четной степени аргумента. Таким образом, все четные производные $P_1(x)$ и $P_0(x)$ совпадают.
Проделав аналогичные рассуждения при добавлении к исходному набору точек дополнительной точки слева, мы получим тот же результат - вторые производные в нуле у исходного полинома и полинома по расширенному набору точек совпадают. Значит, исходная гипотеза доказана.

ЗЫ Понимаю, что долго и нудно, сам устал многочисленные индексы в ТЕХе набирать, но при кратком изложении могли потребовать разжевать по полочкам... Возможная критика и комментарии приветствуются.

[ewert]

Вы типо изобрели теорему о том, что симметричные формулы численного дифференцирования при определённых условиях (при согласованности чётностей количества точек и порядка производной) имеют на единицу более высокий порядок точности, чем это следовало бы из общих соображений.

Ну или я совсем не понимаю, что Вы изобрели.

[_Ivana]

ewert, если я вас правильно понял, то да, все четные производные интерполяционных полиномов по четному количеству точек в краях центрального интервала совпадают с теми же производными интерполяционных полиномов на единицу меньшего набора точек - в тех же точках, которые для меньшего набора стали центральными.
Я пока из этого выжал оптимизацию алгоритма численного расчета интерполирующей функции, базирующейся на полиномах и факт непрерывности всех четных производных такой функции, как уже написал. Что из этого можно выжать еще и можно ли - пока не знаю.