Поиск потенциала поля с помощью криволинейного интеграла

[sjapkee]

Здравствуйте, попалась мне задачка, которая озадачила меня на неделю, звучит так:
"Убедиться, что силовое поле $F = (\frac{1}{\sqrt{1+(y^2+x)^2}} , \frac{2y}{\sqrt {1+(y^2+x)^2}})$ потенциально. Найти его потенциал и работу, которую необходимо совершить против силового поля при перемещении точечной массы $m$ от точки $(0;0)$ до точки $(1; 1)$".
С доказательством потенциальности поля проблем не возникло, но вот на поиске самого потенциала я застопорился на недельку.
$u = \int\limits_{L} \frac{dx}{\sqrt{1+(y^2+x)^2}} + \frac{2ydy}{\sqrt{1+(y^2+x)^2}}$

I: $x$ от $0$ до $x_f$
$y = 0$ -> $dy = 0$
II: $y$ от $0$ до $y_f$
$x = x_f$ -> $dx = 0$

И в результате подстановки и вычислений (вроде верных, но себе верить я не привык) получил такую изощренную формулу:
$u = \ln|x_f + \sqrt{x_f^2+1}| + \ln|(y_f^2+x_f)^2+x_f + \sqrt{((y_f^2+x_f)^2+x_f)^2+1}| - \ln|x_f^2+x_f + \sqrt{(x_f^2+x_f)^2+1}|$

И хотя по отдельности все сходится, проверка выдает не тот результат. Помогите разобраться.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Оформите все формулы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Otta]

Вы лучше по определению попробуйте. И всякие $x_f$ и тп лучше не писать, как-то они как константы воспринимаются.

[sjapkee]

Я просто стараюсь делать как нас учили, по-другому не примут: сначала подставляем в таком виде, дальше берем частные производные по x и по y, и если эти частные производные сходятся с теми, что мы искали, когда делали проверку на потенциальность, то тогда уже подставляем.

[Otta]

Кого куда подставляем аж два раза, ничего не поняла. ))) Давайте по порядку. И что значит не примут, если правильно и Вы понимаете, что Вы делаете, куда денутся.

Тут потенциал очевиден, он устно ищется. Но можно и интегрировать очень долго, конечно.

[sjapkee]

А как ищется потенциал "устно"? Потому что кроме вот таких многоэтажных конструкций нам других методов рассказано не было.

[Otta]

Определение потенциала знаете? Напишите.

[TelmanStud]

У меня вроде получилось $U(x,y)=-\ln \left(x+y^2+\sqrt{\left(x+y^2\right)^2+1}\right)$
и $A=\ln \left(2+\sqrt{5}\right)$

[Ms-dos4]

TelmanStud
Это правильно, но можно попроще записать как $\[\varphi = - {\mathop{\rm arsh}\nolimits} (x + {y^2}) + C\]$

[ewert]

sjapkee в сообщении #872285 писал(а):

Потому что кроме вот таких многоэтажных конструкций нам других методов рассказано не было.

Я не знаю, что в точности за многоэтажные конструкции вам давали, но в идейном-то плане всё очень просто. Тема ведь называется "с помощью криволинейного интеграла", не так ли? Ну так логически всё элементарно: потенциал есть минус криволинейный интеграл от некоторой фиксированной точки до точки наблюдения; и поскольку поле потенциально -- не имеет значения, по какому пути считать этот интеграл.

А вот как лучше выбрать путь -- зависит от задачи. Наиболее универсально -- добираться до точки наблюдения "ступенькой": сначала по горизонтали, потом по вертикали (ну или наоборот). Или, что примерно эквивалентно, взять неопределённый интеграл от одной из компонент по соответствующей переменной при фиксированной другой переменной, затем найти производную от появившейся произвольной постоянной (зависящей от той самой другой переменной) из условия потенциальности и проинтегрировать эту производную. Судя по всему, вас именно на последний подход и натаскивали. Тогда действительно получается немножко занудно.

Но зачем же быть столь догматичным? В данном конкретном случае бросается в глаза, что в любую точку на плоскости можно попасть из начала координат по кусочку параболы $x=ay^2$, где $a=\frac{x_0}{y_0^2}$. (Это, правда, не относится к точкам на горизонтальной оси, но специально попадать в них и нет необходимости -- полученный результат автоматически распространится на них просто по непрерывности.) Тогда всё получается очень легко:

$$u(x_0,y_0)-C=-\int\limits_{y=0}^{y_0}\left(\frac1{\sqrt{1+(y^2+ay^2)^2}}\;2ay\,dy+\frac{2y}{\sqrt{1+(y^2+ay^2)^2}}\;dy\right)=-\int\limits_{y=0}^{y_0}\frac{2(1+a)y\,dy}{\sqrt{1+(1+a)^2y^4}}=$$

$$=\left[\begin{matrix}2(1+a)y\,dy=dt\\t=(1+a)y^2\end{matrix}\right]=-\int\limits_{t=0}^{(1+a)y_0^2}\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=-\operatorname{arsh}\left(\left(1+\frac{x_0}{y_0^2}\right)y_0^2\right)=-\operatorname{arsh}\big(y_0^2+x_0\big).$$

(ну и случай $a=-1$ проще всего тоже счесть за особый, не заслуживающий специального внимания опять же по соображениям непрерывности)