2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нецелое среднее арифметическое
Сообщение03.06.2014, 23:58 
Аватара пользователя


01/12/11
5898
Можно ли выписать в ряд 10 натуральных чисел, чтобы среднее арифметическое любых двух или более подряд идущих чисел не было целым числом?

Мне кажется, что подойдут числа $$k_1, k_2, \dots, k_{10}$$, где $$k_i=i\cdot 10!+i\pmod 2$$

А в общем случае, если чисел не 10, а $n$, подойдут числа $$k_1, k_2, \dots, k_{n}$$, где $$k_i=i\cdot n!+i\pmod 2$$
Я на верном пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 09:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
Факториал нужен, чтобы не было нулей, а умножение его на i - чтобы числа были (как Вам наверняка хочется) разными? Ну ОК.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 09:17 
Аватара пользователя


01/12/11
5898
ИСН в сообщении #871650 писал(а):
Факториал нужен, чтобы не было нулей, а умножение его на i - чтобы числа были (как Вам наверняка хочется) разными? Ну ОК.

Да, хотелось бы, по умолчанию, получить попарно различные числа.
А нули при чём?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
Ну без факториалов было бы 0, 1, 0, 1... - тоже что-то примерно подходящее.

-- менее минуты назад --

Вообще такую штуку можно строить от самого низа. Первое число годится любое, пусть будет 1. Второе - любое чётное, пусть 2. Третье - любое нечётное и не делящееся на 3; китайская теорема говорит, что мы такое найдём. И на следующем шаге найдём (только там условий ещё больше), и т.д.

-- менее минуты назад --

Если только не упрёмся! Или такого не может быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 09:27 
Аватара пользователя


01/12/11
5898
ИСН
Ваша идея в том, чтобы чередовать остатки 0 и 1 при делении на НОК всех чисел от 1 до $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
Нет, это Ваша (как я её понял). Моя - чтобы для каждого нового числа выписывать все требования и брать первое, что подходит. А остаток - уж какой получится, такой получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 13:27 


26/08/11
1653
ИСН в сообщении #871669 писал(а):
чтобы для каждого нового числа выписывать все требования и брать первое, что подходит
А подходят все числа $4k+1 \text{ и } 4k+2$ выписанные в ряд.
Попробуем доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 14:22 
Заслуженный участник


04/05/09
4394
Чередовать 1 и 2.
Сумма любых $k$ чисел подряд равна $k+[\frac k 2]$ или $k+[\frac {k+1} 2]$ и на $k$ не делится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
Это-то ясно. Это если разрешены повторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 15:39 


26/08/11
1653
Если без повторов, выписываем последовательно все числа $4k+1,4k+2$. Если рассмотреть $2n$ или $2n+1$ последовательных (две арифметически прогрессии с разностью 4 рассматриваем), то их среднее арифметическое получается (если не ошибся в арифметике) $4k+2n-\frac 1 2$ в первом случае и $4k+2n+\frac{n+1}{2n+1}$ (когда первый член $4k+1$). В обеих случаях не может быть целое. Если первый член $4k+2$, вряд ли что-то сильно изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
Так. А интересно, можно ли придумать последовательность с таким свойством, которая была бы перестановкой натурального ряда (т.е. использовала бы по разу все числа, а не половину)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение04.06.2014, 23:54 
Заслуженный участник


04/05/09
4394
2,1,4,3,6,5,8,7,10,9,...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нецелое среднее арифметическое
Сообщение05.06.2014, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
О как! :appl:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group