2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Степенной ряд и равномерная сходимость
Сообщение03.06.2014, 22:44 


29/08/11
1137
1) Если степенной ряд равномерно сходится на $(-\infty, +\infty)$, то он многочлен.

2) Если $A=(-r, r), r>0$ -- множество сходимости степенного ряда, то он сходится неравномерно на $(-r, r).$ Где $r$ -- радиус сходимости.

2) Пусть дан степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^n, x\in\mathbb{R}, (1).$ Его множество сходимости $A.$ Радиус сходимости $r, (0<r<+\infty).$ Положим $c=r.$ Тогда $\forall n\ge 0, \forall x\in (-r, r): |a_n x^n| \le |a_n|c^n.$ Но ведь ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n c^n$ расходится. Значит, (1) сходится неравномерно на $(-r, r).$
Это правильно?

Как 1) доказать? Там же и в обратную сторону верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд и равномерная сходимость
Сообщение03.06.2014, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
1 - так, что с какого-то момента все слагаемые должны быть ограничены, а как степенная функция может быть ограничена?
2 - тут у Вас non sequitur. Вы доказали, что члены ряда по модулю меньше чего-то. Как из этого следует неравномерная сходимость? Это подобно такому рассуждению: ${1\over n}<n$, а $\sum n$ расходится, значит, и $\sum{1\over n}$ тоже расходится. Добро победило зло, но у победы какой-то странный привкус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд и равномерная сходимость
Сообщение03.06.2014, 23:18 


29/08/11
1137
1 - Что должно выполняться для каждого $x\in (-\infty, +\infty)$ ? Допустим, радиус сходимости $r=+\infty,$ так ведь? Тогда $\limsup\imits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=0,$ но ведь, для многочлена, $a_n$ - это фиксированное число для каждого $n.$

2 - Уже понял, что неправильно. Просто подумал о признаке Вейерштрасса... Как тогда доказать, что сходится неравномерно?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд и равномерная сходимость
Сообщение04.06.2014, 00:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
На п.1 ИСН Вам исчерпывающе ответил.

2: Докажите, что если степенной ряд сходится равномерно на интервале, то он сходится и в граничных точках этого интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд и равномерная сходимость
Сообщение04.06.2014, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Добавлю еще два слова, чтоб наверняка: критерий Коши.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group