2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 01:10 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста с задачкой :|

Функция $z=z(x,y)$ задана неявно $xyz=e^z$

$$(xyz)'_{x} = (e^z)'_{x}$$

$$yz + xyz'_{x} = e^z z'_{x}   (1)$$

$$yz = e^z z'_{x} -  xyz'_{x}$$

$$yz = z'_{x} (e^z  -  xy)$$

$$z'_{x} =  \frac{yz}{(e^z  -  xy)} (2)$$

Дифференцирую $(1)$ по икс $$(yz + xyz'_{x})'_{x} = (e^z z'_{x})'_{x}$$

$$yz'_{x} + yz'_{x} + xyz''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} + e^z z''_{x^2}$$

$$ xyz''_{x^2} - e^z z''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} - yz'_{x} - yz'_{x}$$

$$ z''_{x^2}( xy - e^z) = e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}$$

$$ z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$$

А теперь дифференцирую $2$ по икс $$z''_{x^2} =  \left (\frac{yz}{(e^z  -  xy)} \right ) '_{x}$$

$$z''_{x^2} = \frac{(yz)'_{x} (e^z  -  xy) - (e^z  -  xy)'_{x} yz}{(e^z  -  xy)^2} $$

$$z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z  -  xy) - (e^z z'_{x}  -  y) yz}{(e^z  -  xy)^2} $$

В итоге двумя способами производные получаются разные :facepalm:

Первым способом: $$ z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$$

Вторым способом: $$z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z  -  xy) - (e^z z'_{x}  -  y) yz}{(e^z  -  xy)^2} $$

:|

 Профиль  
                  
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Попробуйте подставить в полученные уравнения вместо $z'_{x}$ нужные величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 01:41 


29/08/11
1759
demolishka
Огромное Вам спасибо! Совпали 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 10:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Пожалуйста, не пишите $z'_{x^2}$ — кто-то может неправильно понять, лучше $z'_{xx}$. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
arseniiv в сообщении #870920 писал(а):
кто-то может неправильно понять, лучше $z'_{xx}$

Сверху посмотришь - первая, а снизу - вторая. Лучше уж так $z''_{xx}$ или вообще без штрихов $z_{xx}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
А вообще, если частные производные какого-то порядка нужны все, лучше вычислять дифференциал соответствующего порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 21:50 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
bot в сообщении #870973 писал(а):
Лучше уж так $z''_{xx}$ или вообще без штрихов $z_{xx}$.
Точно, упустил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group