2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бирациональные автоморфизмы проективной плоскости.
Сообщение02.06.2014, 02:12 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте. Наткнулся на интересную задачу ) Пусть $f : \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2$ - квадратичный бирациональный автоморфизм. Рассмотрим такие отображения :
$$
a)\ \tau_0 : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (x_1 x_2 : x_0 x_2 : x_0 x_1).
$$
$$ 
b)\ \tau_1 : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (x_0 x_2 : x_0 x_1 : x_2^2). 
$$
$$
c)\ \tau_2 : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (x_0 x_2 : x_1 x_2 + x_0^2 : x_2^2).
$$
Утверждается, что существует система координат такая, что $\forall \ f $ имеет форму либо $\tau_0$, либо $\tau_1$, либо $\tau_2$.
Я начал рассматривать произвольное квадр. преобразование $f : (x_0 : x_1 : x_2) \mapsto (A(x_0,x_1,x_2) : B(x_0,x_1,x_2) : C(x_0,x_1,x_2))$, где $A,B,C$ - квадратичные однородные формы от соответ. переменных. Мы видим, что у наших $\tau_0, \ \tau_1, \ \tau_2$ 3, 2(одна имеет кратность 2), 1(имеет кратность 3) точек неопределенности. Ну я решил, что у нашего $f$ тоже может быть 3,2,1 точек неопределенности. (почему не 0 ?) Пусть $f$ имеет 3 эти особые точки. Кажется, тогда якобиан нашего отображения
$$
J = det \begin{pmatrix} \frac{\partial A}{\partial x_0} & \frac{\partial A}{\partial x_1} & \frac{\partial A}{\partial x_2} \\ \frac{\partial B}{\partial x_0} & \frac{\partial B}{\partial x_1} & \frac{\partial B}{\partial x_2}\\ \frac{\partial C}{\partial x_1} & \frac{\partial C}{\partial x_1} & \frac{\partial C}{\partial x_2} \end{pmatrix}
$$
зануляется в этих точках. Выберу систему координат такую, что наши точки имеют координаты $(1 : 0 :0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1)$ соответ. Тогда получается система из трех уравнений на все неизвестные коэффициенты форм $A,B,C$. И тут я не знаю, что делать ) Правда я никак не использовал, что $f$ автоморфизм, т. е. есть обратное отображение. В общем, есть ли у кого ссылка на решение или умение в решении такого ?

 i  Deggial: формулы поправлены.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group