2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 11:31 
Аватара пользователя


11/12/13

87
Окей, тогда мы в итоге получаем это: $\int_0 ^{+\infty}-\frac{x^2 \sin(x^4)}{x^2+1}+o(x^2\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}}) dx=$\int_0 ^{+ \infty}\frac{\sin(t)}{4t^{\frac{1}{4}}(1+\sqrt t)}+o(\frac{\sin(t)}{4t^{\frac{1}{4}}(1+\sqrt t)}) dt$
Ну а это уже сходится по Дирихле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 11:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Enot2 в сообщении #870219 писал(а):
Ну а это уже сходится по Дирихле?

Нет, никакая вообще оценка не может сходиться по Дирихле. Её сходимость если и можно доказать, то лишь абсолютную. В Вашем случае -- ничего не выйдет, Вы оценили остаток слишком грубо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 12:33 
Аватара пользователя


11/12/13

87
ewert в сообщении #870221 писал(а):
Нет, никакая вообще оценка не может сходиться по Дирихле

В моем случае остатком после можно будет пренебречь?
ewert в сообщении #870221 писал(а):
Вы оценили остаток слишком грубо.

А как понять до какого элемента нужно раскладывать по Тейлору? По $x^2$, который стоит перед дробью? Знаменатель должен его перевесить? Если так, то тогда так:
$\int_0 ^{+\infty}-\frac{x^2 \sin(x^4)}{x^2+1}-\frac{x^2}{2}(\frac{ \sin(x^4)}{x^2+1})^2+o(x^2(\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}})^2) dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 12:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Enot2 в сообщении #870245 писал(а):
А как понять до какого элемента нужно раскладывать по Тейлору?

До тех пор, пока оценка остатка не будет давать абсолютно сходящийся интеграл. Со всеми предыдущими слагаемыми надо разбираться индивидуально.

Enot2 в сообщении #870245 писал(а):
$\int_0 ^{+\infty}-\frac{x^2 \sin(x^4)}{x^2+1}-\frac{x^2}{2}(\frac{ \sin(x^4)}{x^2+1})^2+o(x^2(\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}})^2) dx$

Вот и разбирайтесь. (Хотя на этот раз Вы, наоборот, немного перестарались; но это общая проблема многих преподавателей -- из-за необъяснимого пристрастия к о-именно-маленьким они заставляют студентов проделывать совершенно ненужную работу.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 14:15 
Аватара пользователя


11/12/13

87
пока что не могу сообразить, при чем здесь О большие, но можно ли было док-ть через нер-ва, то есть так:
$\int _0 ^{+\infty} x^2(1-e^{\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}})dx < \int_0 ^{+ \infty} -x^2 \frac{\sin x^4}{x^2+1}dx$, а последний, в свою очередь, сходится (доказано ранее). Значит, сходится и наш интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 14:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Enot2 в сообщении #870312 писал(а):
Значит, сходится и наш интеграл?

Не значит, т.к. подынтегральная функция не знакопостоянна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 14:58 
Аватара пользователя


11/12/13

87
Ладно, будем думать.
Можно еще вопрос: предположим, мы доказали, что интеграл сходится. Что можно будет сказать о абсолютной(условной) сходимости?
Теперь мы можем пользоваться эквивалетностью же: $\int _0 ^{+\infty} \frac{x^2}{x^2+1} \left | \sin x^4 \right |dx \geq  \int _0 ^{+\infty} \frac{x^2}{x^2+1} \sin^2 x^4dx=(x=t^4)=\int _0 ^{+\infty} \frac{1}{4t^{\frac{1}{4}}(\sqrt t+1)} \sin^2 dt$
Так как, начиная с некоторого $t$ выполнено $\frac{1}{4t^{\frac{1}{4}}(\sqrt t+1)} \sin^2 >\frac{1}{t} \sin^2 dt$, а $\int _0 ^{+\infty}\frac{1}{t} \sin^2 t dt$ расходится, то расходится и $\int _0 ^{+\infty} \frac{1}{4t^{\frac{1}{4}}(\sqrt t+1)} \sin^2 t dt$, а значит и изначальный интеграл тоже => условная сходимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 15:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Enot2 в сообщении #870341 писал(а):
начиная с некоторого $t$ выполнено $\frac{1}{4t^{\frac{1}{4}}(\sqrt t+1)} \sin^2 >\frac{1}{t} \sin^2 dt$, а $\int _0 ^{+\infty}\frac{1}{t} \sin^2 t dt$ расходится,

Можно и так. Но сначала надо всё-таки разобраться с остальными Вашими членами (ладно, пусть их будет два).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 15:55 
Аватара пользователя


11/12/13

87
А, я кажись понял. Опять без О большого, но все же:
$\int _0 ^{+ \infty}x^2(\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}})^2 dx = \int_0 ^{+ \infty} \frac{1}{x^2+2+\frac{1}{x^2}}dx - \int_0 ^{+ \infty} \frac{ \cos 2x^4}{x^2+2+\frac{1}{x^2}}dx$. Далее делается замена и опять по признаку Дирехле эта сумма интегралов сходится. А сходится он абсолютно, так как модуль просто ничего не поменяется, так как изначальная дробь и так была неотрицателльна

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 16:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Enot2 в сообщении #870375 писал(а):
Далее делается замена и опять по признаку Дирехле эта сумма интегралов сходится.

Хоссподи, он же изначально тупо через степень оценивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение01.06.2014, 16:14 
Аватара пользователя


11/12/13

87
а, да, без замены можно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group