2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Конечные множества, ZF
Сообщение31.05.2014, 20:48 


08/03/11
273
Профессор Снэйп в сообщении #616126 писал(а):
Я слышал, есть два определения конечного множества:

1) Множество называется конечным, если оно равномощно некоторому натуральному числу (то есть конечному ординалу).

Можно ли без противоречия присоединить к аксиомам теории множеств ZF
в качестве аксиомы утверждение -
"Все множества - конечны" ?

С уважением
Александр Дорин
 !  Lia: замечание за некорректное оформление цитаты. Исправлено.

 i  Deggial: выделено из темы конечные множества

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение02.06.2014, 00:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Нет, нельзя. В ZF есть аксиома (аксиома бесконечности), постулирующая существование множества, про которое потом отдельно можно показать, что в нём есть равномощное ему собственное подмножество.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение02.06.2014, 11:23 


08/03/11
273
arseniiv -
В ZF есть аксиома (аксиома бесконечности), постулирующая существование множества, про которое потом отдельно можно показать, что в нём есть равномощное ему собственное подмножество.

Наверное, про это множество такое сказать нельзя, т.к оно, это множество, получается при помощи операции объединения с конечным множеством (по предлагаемой аксиоме) с ранее полученным множеством, которое конечно (по предлагаемой аксиоме).

С уважением
Александр Дорин

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение02.06.2014, 11:47 


20/03/14
12041
 !  alex_dorin
Повторное замечание за неоформление цитаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение02.06.2014, 11:50 


08/03/11
273
arseniiv в сообщении #870831 писал(а):
Нет, нельзя. В ZF есть аксиома (аксиома бесконечности), постулирующая существование множества, про которое потом отдельно можно показать, что в нём есть равномощное ему собственное подмножество.


Наверное, про это множество такое сказать нельзя, т.к оно, это множество, получается при помощи операции объединения с конечным множеством (по предлагаемой аксиоме) с ранее полученным множеством, которое конечно (по предлагаемой аксиоме).

С уважением
Александр Дорин

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение02.06.2014, 22:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Прочитал трижды, но так и не понял, что вы хотели сказать.

Давайте для удобства обозначать это множество $\omega$.

Аксиома бесконечности имеет вид $\exists \omega\left( \varnothing\in\omega\wedge\forall x\left( x\in\omega\to x\cup\{x\}\in\omega \right\right)$.

Его подмножество $\omega_1 = \omega\setminus\{\varnothing\}$ можно поставить во взаимно однозначное соответствие с $\omega$ с помощью функции $f\colon\omega\to\omega_1$, $f = \{(x, x\cup\{x\}) : x\in\omega \}$. То, что это биекция, можно доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение02.06.2014, 23:53 


08/03/11
273
Я использую аксиому бесконечности в виде формулы первопорядковой логики с единственным предикатом "a элемент b" арности 2 в виде изложенном в Мостовский "Конструктивные множества и их приложения". Не возникает противоречия в ZF при добавлении аксиомы - "все множества - конечные".

C уважением
А. Дорин

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 14:44 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
alex_dorin в сообщении #871189 писал(а):
Я использую аксиому бесконечности в виде формулы первопорядковой логики с единственным предикатом "a элемент b" арности 2 в виде изложенном в Мостовский "Конструктивные множества и их приложения".
Вместо описания могли бы и привести её здесь.

Формула
arseniiv в сообщении #871127 писал(а):
$\exists \omega\left( \varnothing\in\omega\wedge\forall x\left( x\in\omega\to x\cup\{x\}\in\omega \right\right)$
тоже разворачиваема в формулу без $\subset$, $\varnothing$ и $\{\}$. Если вы можете установить, имея уже развёрнутую формулу, что
alex_dorin в сообщении #871189 писал(а):
Не возникает противоречия в ZF при добавлении аксиомы - "все множества - конечные".
то вы, думается, без труда можете показать выводимость друг из друга развёрнутой и этой формул.

-- Вт июн 03, 2014 17:45:51 --

Кстати, как вы проверяли, что не возникает противоречия?

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 15:06 


08/03/11
273
arseniiv в сообщении #871359 писал(а):
Кстати, как вы проверяли, что не возникает противоречия?



Различными логическими пруверами довольно длительное время.
Естественно без аксиомы подстановки, тк она не выразима в логике первого порядка.
А. Дорин

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 16:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это описание как-то не описывает. Что конкретно вы делали? И как вы собираетесь опровергнуть
arseniiv в сообщении #871127 писал(а):
$\omega_1 = \omega\setminus\{\varnothing\}$ можно поставить во взаимно однозначное соответствие с $\omega$ с помощью функции $f\colon\omega\to\omega_1$, $f = \{(x, x\cup\{x\}) : x\in\omega \}$. То, что это биекция, можно доказать.
?
Существование этой биекции вместе с постулированием конечности всех множеств (в виде, что множество конечно, когда не существует биекции в какое-нибудь его собственное подмножество) приводит к противоречию.

-- Вт июн 03, 2014 19:38:36 --

Если вы просто пытались вывести какую-нибудь формулу вместе с отрицанием, но не вывели, это не говорит, что их нельзя вывести в принципе.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 16:39 


08/03/11
273
Замечу, я ранее проверял на эквивалентность приведеной Вами формы аксиомы бесконечности (она часто встречается
в литературе) и упомянутой выше аксиомы выписанной Мостовским при помощи надежных логических пруверов , и получил результат - они не эквивалентны.
Так, что , теория множества - часто - символ веры ! :shock:

А. Дорин

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 16:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
alex_dorin в сообщении #871391 писал(а):
Замечу, я ранее проверял на эквивалентность приведеной Вами формы аксиомы бесконечности (она часто встречается
в литературе) и упомянутой выше аксиомы выписанной Мостовским при помощи надежных логических пруверов , и получил результат - они не эквивалентны.
Так, что , теория множества - часто - символ веры ! :shock:
Так что вы просто не умеете пользоваться надёжными логическими пруверами, вероятно.

Приведите уже ту формулу. У вас книга уже есть, а мне её надо сначала раздобыть. Но утверждаете-то вы, а не я.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
И заодно приведите формулу, которой Вы записали "все множества - конечные".

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 17:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  alex_dorin, замечание за кривое и избыточное цитирование.
В случае рецидива буду сносить посты в Карантин.
Цитаты снесены почти полностью, как почти бессмысленные.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение03.06.2014, 18:48 


08/03/11
273
Мостовский А. Конструктивные множества и их приложения. М.: Мир, 19730
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 973ru.djvu

Формулу, утверждающую предложение "все множества - конечные"
могу написать, но не в latex.
Нужно ввести не мало вспомогательных аксиом для вспомогательных предикатов.
Смею Вас заверить - ошибок там нет и пруверами я пользуюсь хорошо.

C уважением
А. Дорин
г. Полтава

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group