Мультипликативно-совершенные числа

[Ktina]

Натуральное число называется мультипликативно-совершенным, если оно равно произведению всех своих собственных делителей. Вот объяснение: http://mathworld.wolfram.com/Multiplica ... umber.html

Легко найти все мультипликативно-совершенные числа, представимые в виде:

$$1!+2!+\dots +n!$$

Это будут числа 1 и 33 (всё, что больше, делится на 9, но не делится на 27).

А вот если заменить $1!+2!+\dots +n!$ на

$$0!+1!+\dots +m!$$

, вот тогда возникает проблема.

Нетрудно найти первые три числа:
1, 10, 34.

Далее, можно воспользоваться «Альфой» и найти ещё несколько:
5914, 46234, 409114, 4037914.

А даальше? Открытая проблема?

[Ktina]

Вот ещё несколько:
http://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/ma ... tha131.htm

-- 01.06.2014, 00:02 --

Например, 9157958657951075573395300940314.

[ddn]

мультипликативно-совершенные, это в точности один из взаимоискючающих вариантов:
а) 1 (нуль собственных делителей);
б) $p \cdot q$ ($p<q$, три собственных делителя: 1, $p$, $q$);
в) $p^3$ (три собственных делителя: 1, $p$, $p^2$);
где $p$ и $q$ - простые.

$!0 = 0$, $!1 = 1$, $!2 = 2$, $!3 = 4$. Где м-с число $!1 = 1$.

$!m=\sum\limits_{n=0}^{m-1} n!=2(2 k_m + 1)$ при $m \ge 4$, так как $!4=10=2(2 \cdot 2 + 1)$ и $n!=4 l_n$ при $n \ge 4$. Значит м-с числа $!m$ могут иметь только вид (б) $p \cdot q=2 \cdot q$ ($q>2$).
Нужно проверять $\frac{!m}{2}$ на простоту, что довольно легко.

Если запустить в Мапле такой код

m:=0: s:=0: while m<3 do s:=s+m!; m:=m+1 od; while m<1000 do s:=s+m!; m:=m+1; if isprime(iquo(s,2)) then print(m) fi od;

это выведет в столбик искоме значения $m \le 1000$
4, 5, 6, 9, 10, 11, 30, 76, 163, 271, 273, 354, 721

Ассимптотика $\frac{!m}{2} \thicksim m!$, вероятность стать простым числом $\nu \thicksim \frac{1}{\ln(m!)} \thicksim \frac{1}{m\ln(m)}$, а число простых среди первых $m$ вида $!m$ должно быть $N(m) \thicksim \ln(\ln(m))$. Хотя фактически наблюдается $N(m) \approx 2\ln(m)$.

[Ktina]

ddn в сообщении #870215 писал(а):

...

4, 5, 6, 9, ...

А не 8?

[ex-math]

А может ли случиться, что $m\mid !m$ при $m>2$? Тогда последовательность оборвется.
Вроде это гипотеза Курепы, то ли доказанная, то ли нет. См. http://dxdy.ru/topic50592.html.

[ddn]

Надо закрыть циклы двоеточиями, чтобы не выводить лишний мусор.

m:=0: s:=0: while m<3 do s:=s+m!; m:=m+1 od: while m<1000 do s:=s+m!; m:=m+1; if isprime(iquo(s,2)) then print(m) fi od:

Ktina в сообщении #870361 писал(а):

ddn в сообщении #870215 писал(а):

...
4, 5, 6, 9, ...

А не 8?

Да, 8, описался.

ex-math в сообщении #870672 писал(а):

А может ли случиться, что $m\mid !m$ при $m>2$? Тогда последовательность оборвется.
Вроде это гипотеза Курепы...

Точнее, это равенство отрицает гипотезу Курепы. А ее справедливость (вроде доказанная) исключает $m \mid !m$ и даже $p \mid !m$ которое $2 < p \le m$ при $m>2$. Каждое нечетное простое может встречаться среди множителей последовательности $!m$ лишь конечное число раз, но это все равно не доказывает бесконечности таких м-с чисел, скорее всего это недоказуемо.

При этом минимальные нечетные простые делители числа $!m$ могут быть очень близки к $m$, например
$minp(6)=6+1$,
$minp(16)=16+3$,
$minp(133)=133+6$,
$minp(203)=203+8$,
$minp(692)=692+9$,
$minp(7891)=7891+10$,
$minp(33820)=33820+7$,
последний даже меньше чем $m + \ln(m)$.
Возможно даже бесконечно много таких $m$, что $minp(m) \le m+c$.

[ddn]

Есть даже
$minp(193846)=193846+16$
$minp(274452)=274452+2$
последний намекает, что существуют $minp(m)=m+c$ для любого $c>0$.