2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 00:45 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Задача. Доказать, что преобразование Фурье функции $F(x) = sech(x\sqrt{\frac{\pi}{2}})$, где $sech(x) = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ равно ей же самой, т.е. $\hat{F} = F$.

"Решение". В принципе, задачу я вроде как решил, но прошу следить за руками. Да, обозначим $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ за $\alpha$, чтобы не нагромождать.
1. Нужно посчитать интеграл $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2e^{-ixy}}{e^{\alpha x} + e^{-\alpha x}}$. Постараемся сделать это вычетами.
2. Посчитаем где знаменатель обращается в нуль. $e^{2\alpha z} = -1$, отсюда $z = \frac{\pi i (2n + 1)}{2\alpha}$.
3. Возьмем последовательность контуров $D_{R_n}$ - полуокружностей с диаметрами $[-R_n, R_n]$, где $R_n = \frac{\pi n}{\alpha}$ (чтобы радиусы попадали между нулями знаменателя) и лежащим полностью в области $Im z \geq 0$ .
4. Хочется, чтобы интеграл по полуокружности стремился к нулю. Лемму Жордана тут не применишь, ибо нет непрерывности в нужной области. Знаменатель оценивается снизу по модулю как $|2\cos(\pi n)| = 2$, а далее я не знаю как оценить этот интеграл (ну или посчитать на крайний случай). Да и вообще, у меня закрадываются большие подозрения, что так грубо оценить интеграл нельзя.
5. Но, допустим, мы доказали, что интеграл по полуокружности равен нулю. Тогда по теореме Коши о вычетах мы получаем, что сумма вычетов в $Im z \geq 0$ будет равна искомому преобразованию Фурье. Посчитаем вычеты, как отношении голоморфной функции к функции, имеющей в этой точке полюс первого порядка. (Тут могу ошибиться с вычислениями, поправьте пожалуйста)
$Res_{z = \frac{\pi i (2n + 1)}{2\alpha}}\frac{e^{-ixy}}{e^{\alpha x} + e^{-\alpha x}} = -\frac{1}{2\alpha}(-1)^{n+1}e^{\pi y(2k + 1) / 2\alpha}$
6. Превосходно, значит наш интеграл будет равен $\frac{1}{2\alpha}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}e^{\pi y(2n + 1) / 2\alpha}$, считаем как геометрическую прогрессию, получаем $\frac{1}{2\alpha}\frac{e^{\pi y/2\alpha}}{1 + e^{\pi y/\alpha}} = \frac{1}{2\alpha}sech(\frac{\pi y}{2 \alpha})$. Вроде как радует, что с аргументом $sech$ я не оплошал, но с константой, видимо, немного накосячил.
7. Весь пафос был ради этой строчки! Проблема в том, что геометрическую прогрессию не всегда можно суммировать :), лишь когда ее знаменатель меньше 1. А мы так взяли и лихо просуммировали. Ну, преподаватель, естественно, меня на этом и подловил. Пока писал пост - возникла мысль, $sech$ - четная функция, так что без разницы, что интегрировать $e^{-ixy}$, что $e^{xy}$. А вот на подсчет вычета это как раз повлияет и получится $-\frac{1}{2\alpha}(-1)^{n+1}e^{-\pi y(2k + 1) / 2\alpha}$. Возникает второй вопрос, а как вообще такое получилось, взяли вместо икса подставили минус икс и получили сходящийся ряд? Предположение - мы интегрировали не по той полуокружности?

Итог. Нужна помощь с пунктом 4, проверка 5, 6 и, правильно ли я рассуждал в 7?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 02:10 
Заслуженный участник


09/05/13
8904

(Оффтоп)

Сорри, я щас усну проверять, ((
но чего бы Вам с ходу экспоненциальную замену не сделать? Получилось бы преобразование Меллина от рациональной функции, имхо, всяко жить проще.

(Оффтоп)

Если что, не бить больно, потому как время не решательное. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 08:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Сделайте сразу замену $t=\alpha x$ и сведите к интегралу вида
$$
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\beta t}}{e^t+e^{-t}}dt.
$$
При $\beta=0$ считается сразу. От знака $\beta$ не зависит, поэтому считаем $\beta>0$. Тогда Вы рассуждаете правильно, только лучше взять не полуокружности, а контуры прямоугольников -- проще следить за экспонентой. Аккуратно распишите числитель и знаменатель на каждой стороне прямоугольника и посмотрите, что получится. Это по п.4.

В п.5 забыли $i$, а в п.6 $2\pi i$. С прогрессией проблем не будет, если $\beta>0$ и контур замыкается через верхнюю полуплоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 08:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Все-таки мне мой способ больше нравится: две особых точки лучше счетного количества. Чисто субъективно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 08:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Otta
И вправду красиво выходит.
Но прямой способ хорош тем, что дает навыки суммирования рядов. Вот если бы сумма вычетов была не геометрической прогрессией, а какой-то дрянью, то можно было бы ее свести к интегралу и посчитать. Для этого очень нужно уметь оценивать триг.функции на границах специальных прямоугольников. Пусть учится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 12:09 
Аватара пользователя


14/12/13
119
ex-math
Да, по Вашим контурам $P_{R_n} = \partial\{|Re z| < R_n, 0 < Im z < R_n\}$ ($R_n$ - те же самые, что и у меня) удобней интегрировать. Значит тогда рассуждения такие.
По боковым сторонам прямоугольника интегралы оцениваются следующим образом.
$$\int_{0}^{R_n}\frac{e^{i \beta (R_n + i t)}}{e^{(R_n + i t)} + e^{-(R_n + i t)}}dt = \int_{0}^{R_n}\frac{e^{i \beta R_n}e^{-\beta t}}{e^{R_n}(e^{i t} + e^{-(2R_n + i t)})}dt$$
Числитель по модулю оценивается 1, знаменатель по модулю оценивается $e^{R_n}(1 - e^{2R_n})$. Значит интеграл весь оценивается как $\frac{CR_n}{e^{R_n}}$, где C - некоторая константа. Ну и, соответственно, это все "с треском" летит в нуль.
Теперь оценим интеграл по верхнему основанию.
$$\int_{-R_n}^{R_n}\frac{e^{i\beta(t + iR_n)}}{e^{t+iR_n} + e^{-(t+iR_n)}}dt$$
Числитель по модулю не превышает $e^{-R_n}$, знаменатель ограничен чем-то снизу, а именно двойкой из соображения симметрии и моего начального поста. Этот интеграл по тем же причинам стремится к нулю.
Ну а дальше я все понял. Спасибо большое! Проверьте только и эти рассуждения пожалуйста. А то у нас не суперские были семинары по комплану, а наука чрезвычайно красивая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 14:17 


25/08/11

1074
Есть целая теория о функциях, для которых их Фурье совпадает с самой функцией. Титчмарш назвал их самоподобными, дал полное описание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Все верно, не считая пары опечаток. И чтобы не оставалось никаких сомнений насчет нижней оценки, полезно убедиться, что
$$
|\mathrm{ch}(x+iy)|^2=\mathrm{sh}^2x+\cos^2y.
$$
А у Вас $y=R_n=\pi n$.

Вы себе можете сами устроить "семинар". Возьмите задачник Волковыского и решайте что нравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье
Сообщение30.05.2014, 23:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
ex-math в сообщении #869489 писал(а):
Пусть учится.

Да конечно-конечно. :D
ex-math в сообщении #869489 писал(а):
Но прямой способ хорош тем, что дает навыки суммирования рядов.

А этот - навыки работы с многозначными функциями.
Во всем своя прелесть. :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group