2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение22.05.2014, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
hedgehogues в сообщении #866680 писал(а):
то, что при $x < 0 $, мы получаем комплексные значения интеграла.
А нафиг Вам отрицательные значения $x$? У Вас пределы интегрирования-то какие? От $0$ до $+\infty$:
hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):
$$ \int^{+\infty}_0 \frac{x^{a-1}}{1+x^6}dx $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение22.05.2014, 22:27 


26/08/13
50
Someone в сообщении #866685 писал(а):
hedgehogues в сообщении #866680 писал(а):
то, что при $x < 0 $, мы получаем комплексные значения интеграла.
А нафиг Вам отрицательные значения $x$? У Вас пределы интегрирования-то какие? От $0$ до $+\infty$:
hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):
$$ \int^{+\infty}_0 \frac{x^{a-1}}{1+x^6}dx $$



Да, все верно...
Точно.
Тогда отрицательные значения сами собой улетают.
Спасибо.

P.s. Коли здесь можно обойтись без $B$-функции, могли бы Вы сказать, как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение22.05.2014, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
hedgehogues в сообщении #866694 писал(а):
Коли здесь можно обойтись без $B$-функции, могли бы Вы сказать, как?
А зачем? Вы же выразили через бета-функцию, дальше выражаете бета-функцию через гамма-функцию, пользуетесь свойствами гамма-функции и получаете результат.
Ну, можно ещё средствами ТФКП вычислить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение23.05.2014, 03:02 


26/08/13
50
Someone в сообщении #866707 писал(а):
hedgehogues в сообщении #866694 писал(а):
Коли здесь можно обойтись без $B$-функции, могли бы Вы сказать, как?
А зачем? Вы же выразили через бета-функцию, дальше выражаете бета-функцию через гамма-функцию, пользуетесь свойствами гамма-функции и получаете результат.
Ну, можно ещё средствами ТФКП вычислить.


Просто стало интересно, ибо кто-то выше говорил о том, что следует забить на сею функцию.
А вот ТФКП препод пользоваться запретил. Точнее сказал, чтобы все было над вещественным полем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение23.05.2014, 03:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Так и не поняла: вы решили пример? Я в оффтопе указала вам нужную замену. А "забить" предлагали временно, сначала ответить на другой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение25.05.2014, 20:36 


26/08/13
50
provincialka в сообщении #866767 писал(а):
Так и не поняла: вы решили пример? Я в оффтопе указала вам нужную замену. А "забить" предлагали временно, сначала ответить на другой вопрос.


Да, решили. При $х < 0 $ об интеграле не имеет смысла говорить, так как влезаем во мн-во, по которому не интегрируем.

А что даст Ваша замена?
Там не очень хорошо вроде бы получается.
И без $B$-функции, кажется, не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение25.05.2014, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
hedgehogues в сообщении #867710 писал(а):
И без $B$-функции, кажется, не получится.
Разумеется, это фактически она и есть. Пример такого типа стоит почти в самом начале темы "Эйлеровы интегралы". Например, в задачнике Демидовича пример 3851. Там ответ упрощается по свойству Гамма-функции.
"Моя" замена (вернее, стандартная в таком случае) именно к бета-функции и приводит. А вы как решали? Через вычеты? Какой у вас ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение28.05.2014, 16:37 


26/08/13
50
hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):
Нужно посчитать интеграл.
$$ \int^{+\infty}_0 \frac{x^{a-1}}{1+x^6}dx $$

Посчитал через $B$-функцию. Но, к сожалению, после замены $x^6 = t$ получил печальку -- в ответе вылез комплексный корень, так как при подстановке обратной функции под дифференциал

$$x=\begin{cases}
t^ \frac{1}{6},&\text{если $x \geqslant 0$;}\\
-t^ \frac{1}{6},&\text{если $x<0$.}
\end{cases}$$

Далее интеграл распадается на два, в одном из которых в итоге появляется комплексный корень.
Собственно говоря, во втором случае трабла, когда $x < 0$.

Также пробовал посчитать по общей формуле, но она слишком громоздкая, а при дифференцировании не дает верного ответа почему-то =( .


Я решал заменой, которую указал здесь.

Ответ, к сожалению, не помню. Все сдал ужо.
Но что-то вроде $\frac{1}{6} В(\frac{a}{6}, \frac{a}{6} - 1)$

Но это не точно, говорю на память.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение29.05.2014, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Стандартная замена $1+x^6=1/t$. Дифференцируя, получаем, что $6x^5dx=-t^{-2}dt, t(0)=1, t(+\infty)=0$. Интеграл принимает вид $$-\int\limits^{0}_1 \frac{x^{a-1}tdt}{6x^5t^2}dx =\frac16\int\limits_0^1\frac{x^{a-6}}{t}dt$$
Теперь можно окончательно избавиться от $x$, заменив его на $(1-\frac1t)^{1/6}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group