Камушек на карусели

[Ingus]

На детской площадке родилась задача:
Плоский камушек кладется на пол вращающейся платформы на средине радиуса. Какую радиальную скорость будет иметь камушек при выходе с платформы? Известны коэффициент трения, масса камушка и угловая скорость платформы. "Вбрасывание" камушка производит человек на платформе.
Что изменится если камушек аккуратно упадет из ИСО?

[Oleg Zubelevich]

свяжем подвижную систему координат с каруселью, начало системы координат лежит на оси вращения.

скорость камня $\overline v=\overline v_e+\overline v_r,\quad \overline v_e=[\overline\omega,\overline r],$
где $\overline r$ -- радиус вектор камня, $\overline\omega$ -- угловая скорость карусели
Если камень скользит по карусели то сила трения равна

$$\overline F=-kmg\frac{\overline v_r}{|\overline v_r|}$$

закон движения:

$$m\dot{\overline v}=\overline F$$

расписывать это уравнение удобней по подвижным осям

[svv]

Oleg Zubelevich в сообщении #868806 писал(а):

свяжем подвижную систему координат с каруселью

Но закон движения, раз туда входит только сила трения, записан в неподвижной системе?

[Ingus]

Есть мнение, что он уйдет строго по прямой в ИСО со скоростью почти 0.5 Омега Эр, которая конечно будет иметь некую малозначимую радиальную составляющую.

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #868818 писал(а):

Но закон движения, раз туда входит только сила трения, записан в неподвижной системе?

закон движения записан относительно ИСО

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #868806 писал(а):

$$\overline F=-kmg\frac{\overline v_r}{|\overline v_r|}$$

Такое движение у меня получилось, когда камень влетает на карусель радиально и движется с трением по инерции строго в том направлении в котором начал движение в ИСО. Сила трения направлена против вектора скорости в НСО, который складывается из относительной скорости проскальзывания в тангенциальном направлении и собственно движения в радиальном направлении...

-- 28.05.2014, 17:01 --

В любом случае надо иметь представление (или предположение) о траектории камня в ИСО. если вбрасывание происходит по радиусу с некой начальной скоростью и движение идет без сноса - все понятно, все красиво. в ИСО одна сила трения и все.
в нашем же случае камень стартует в неизвестном направлении... будет ли его движение в ИСО по прямой?

-- 28.05.2014, 17:09 --

Если в начальных условиях радиальная скорость равна нулю (камень то сорвется в движение по касательной), пойдет ли процесс? Надо проверить...

-- 28.05.2014, 17:22 --

Правильно ли я понял, что направление силы трения зависит от относительной скорости тела в НСО, но всю эту шляпу с кориолисом и центробежкой мы опускаем, ибо движение записываем для ИСО.

[Oleg Zubelevich]

А Вы уравнения распишите в координатах, сразу легче станет, в частности, будете знать , какие движения там есть , а каких нет.

[Ingus]

А может так лучше?

Oleg Zubelevich в сообщении #868806 писал(а):

$$\overline F=-kmg\frac{\overline v_r}{|\overline v|}$$

[Oleg Zubelevich]

так неверно

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #868914 писал(а):

так неверно

Получается, что сила трения действует в радиальном направлении? Так?

-- 28.05.2014, 21:57 --

Oleg Zubelevich в сообщении #868806 писал(а):

свяжем подвижную систему координат с каруселью, начало системы координат лежит на оси вращения.

скорость камня $\overline v=\overline v_e+\overline v_r,\quad \overline v_e=[\overline\omega,\overline r],$

Подвижная система надо полагать вращающаяся? Т.е. неинерциальная? в которой надо центробежную силу и силу Кориолиса учитывать?

Скорость камня относительно поверхности Земли или поверхности платформы мы рассматриваем?
Была такая игрушка - кольцевая автодорога.. Машинка на магнитике по вращающейся платформе гонит. В ИСО она только из стороны в сторону на 2 см ходит, а виртуальному водителю кажется, что он гонит по трассе и под ним шуршит асфальт и греется резина. Камушек такая же машина. Что за сила им движет? В ИСО одна сила- трения. Она только тормозит. А разгоняет кто? В НСО - там понятно -центробежная сила толкает к краю, а Кориолиса вправо от направления скорости при вращении против часовой.

-- 28.05.2014, 22:01 --

Oleg Zubelevich в сообщении #868908 писал(а):

А Вы уравнения распишите в координатах, сразу легче станет

Вы так говорите, как будто убеждены в правильности Вашего решения...

[Oleg Zubelevich]

Остапа понесло(с)



Свяжем декартову систему координат $xyz$ с каруселью (возможно, разумней было бы ввести полярную систему); ось $z$ совпадает с осью вращения карусели и направлена вверх. Угловая скорость карусели равна $\overline \omega=\omega\overline e_z$, радиус-вектор камня $\overline r=x\overline e_x+y\overline e_y$;
Относительная скорость камня: $\overline v_r=\dot x\overline e_x+\dot y\overline e_y$
Переносная скорость $\overline v_e=\omega x\overline e_y-\omega y\overline e_x$

[Ingus]

Меня смутил индекс r. Вы имели ввиду relativ, а я подумал radial.

-- 29.05.2014, 09:53 --

Ingus в сообщении #869084 писал(а):

Свяжем декартову систему координат $xyz$ с каруселью

Карусель вращается. Это вращающаяся система координат? Как мы избежим фиктивных сил при расчете движения?

-- 29.05.2014, 10:01 --

И еще с начальными условиями непонятно. В начальный момент относительная скорость равна нулю, но стимул к движению есть: кинетическая энергия переносного движения к примеру больше потенциальной энергии связи статического трения и... вуаля! начинается движение. Сила трения приводит камень в движение?

[Oleg Zubelevich]

второй закон Ньютона это векторное равенство. Свойство двух векторов быть равными не зависит от систем координат. По какой захотим системе координат по той и распишем.
Просто надо правильно понимать, что такое: " записать уравнения движения в инерциальной системе отсчета". Применительно ко второму закону Ньютона это означает, что ускорение точки берется относительно инерциальной системы. После этого равенство ma=F мы можем проектировать на любые оси хоть подвижные , хоть нет.

[Ingus]

V - это скорость камня в неподвижной системе, при этом под ним проскальзывает в тангенциальном направлении карусель, в итоге его относительная скорость складывается векторно как показано на рисунке, а сила трения действует против этой относительной скорости. Правильно?

[Oleg Zubelevich]

неправильно, сравните, что у Вас нарисовано с этой формулой:

Oleg Zubelevich в сообщении #868806 писал(а):

$\overline v=\overline v_e+\overline v_r$