2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Небесная механика
Сообщение29.02.2012, 05:59 


15/11/11
243
Munin в сообщении #543508 писал(а):
Parkhomuk в сообщении #543367 писал(а):
Что то на картинках не вижу гиперболических решений для траекторий.


Плохо смотрите, их там дофига, крайние.


Я асимптот не различаю (вдруг это "обрезанные" элипсы). Кстати, а как Вы их отличаете от параболических?

Утундрий в сообщении #543568 писал(а):
Решение 2 таково: ...

Но если угол между r1 и r2 180 градусов (что возможно, хотя и [r1 x r2]=0), то по Вашему величины v1 и v2 бесконечны? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение29.02.2012, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):
Я асимптот не различаю (вдруг это "обрезанные" элипсы).

Эллипс даже под большим увеличением вблизи фокуса не может быть "уголком". Он всегда "кругленький". Если видите "уголок" - перед вами кусок гиперболы.

Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):
Кстати, а как Вы их отличаете от параболических?

Где-то там между эллипсами и гиперболами может быть изображена парабола, которая именно - меня не сильно волнует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение29.02.2012, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Итак, квадрат эксцентриситета любой допустимой орбиты дается выражением
$$\[
\varepsilon ^2  = \left( {\frac{p}
{{r_1 }} - 1} \right)^2  + \left( {\frac{{p\left( {r_1  - r_2 \cos \theta } \right)}}
{{r_1 r_2 \sin \theta }} - \frac{{\sin \theta }}
{{1 + \cos \theta }}} \right)^2 
\]
$$

Взяв от него минимум по $p$, получим наикруглейшую орбиту при фиксированом $\theta $:
$$\[
\begin{gathered}
  \varepsilon _m^2  \equiv \mathop {\min }\limits_p \varepsilon ^2  = \varepsilon ^2 \left( {p_m } \right) = \left( {\frac{{r_1  - r_2 }}
{{r_{12} }}} \right)^2  \hfill \\
  p_m  \equiv \frac{{r_1 r_2 \left( {r_1  + r_2 } \right)}}
{{r_{12}^2 }}\left( {1 - \cos \theta } \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$

где $\[
r_{12}  \equiv \left| {\vec r_1  - \vec r_2 } \right|
\]
$

Отпустив $\theta $ погулять, получим наиболее наикруглейшую, соединяющую две круговые:
$$\[
\begin{gathered}
  \varepsilon _{\min }^2  \equiv \mathop {\min }\limits_\theta  \varepsilon _m^2  = \varepsilon _m^2 \left( {\theta _{\max } } \right) = \left( {\frac{{r_1  - r_2 }}
{{r_1  + r_2 }}} \right)^2  \hfill \\
  \theta _{\max }  = \pi  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$

Наиболее наикруглейшей, таким образом, оказалась гомановская орбита.

Также можно найти две параболические орбиты, решив квадратное относительно $p$ уравнение $\[\varepsilon ^2  = 1\]$, оба решения которого $\[p_ \pm  \]$ действительны и положительны.

Таким образом, для уяснения общей картины, для произвольной тройки $\[\left\{ {r_1 ,r_2 ,\theta } \right\}\]$ достаточно построить лучи по направлениям $\[\vec e_i \]$; прямую, проходящую через стартовую и финишную точки да две параболы. Эти линии и рассекут плоскость орбиты на запретную, содержащую замкнутые допустимые орбиты и на содержащую разомкнутые допустимые орбиты области. Ну, для красоты можно еще наикруглейшую нарисовать.

P.S. Картинки, извините, завтра.
Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):
величины v1 и v2 бесконечны?

Да. А что в этом такого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение29.02.2012, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Можно где-нибудь в комплексную плоскость вылезти, и особенности пообходить, но как-то не соображу, где.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение29.02.2012, 23:33 


20/12/09
1527
А если изменить задачу и поставить вопрос: как попасть с планеты на планету.
Планеты не стоят на месте и движутся по орбитам.

Заодно рассчитать: ускорение для старта и для финиша.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение01.03.2012, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Картина в общем случае получается такая
Изображение
Здесь по желтой зоне проходят разомкнутые орбиты, по синей - замкнутые (черным показана орбита с наименьшим эксцентриситетом, т.е. наикруглейшая), а по белым - ничего не проходит.

Вот еще несколько картинок с промежуточными траекториями (показаны пунктиром)
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Ales в сообщении #544037 писал(а):
А если изменить задачу и поставить вопрос: как попасть с планеты на планету.

Собственно, все необходимое для ответа уже изложено. То что планеты движутся - не беда: я просто буду полагать, что целевая планета находилась ровно там, откуда она пришла в момент встречи с ней к тому времени, когда эта встреча состоялась.
Ales в сообщении #544037 писал(а):
Заодно рассчитать: ускорение для старта и для финиша.

Ускорения тут совершенно не важны (если только речь не идет об ускорениях, действующих в течение всего полета). Важны лишь набранные скорости, их-то (точнее, их модули или сумму их модулей) и нужно минимизаровать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение01.03.2012, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #544337 писал(а):
То что планеты движутся - не беда: я просто буду полагать, что целевая планета находилась ровно там, откуда она пришла в момент встречи с ней к тому времени, когда эта встреча состоялась.

Хе-хе, а время-то на разные движения будет затрачено разное... Не, эта задача повеселей, не отмахивайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение01.03.2012, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Munin в сообщении #544399 писал(а):
Хе-хе, а время-то на разные движения будет затрачено разное... Не, эта задача повеселей, не отмахивайтесь.

Немонотонности, конечно, возможны, а с ними и веселье. Также в трассах с возвратами фактор времени будет еще более важен, ибо уже не выставить планету на любое удобное нам место и придется что-то решать... Однако, каждому овощу свое время. Для однозвенных перелетов важнее затраты скорости. В связи с чем возникает упражнение

3. Существует ли отличие между траекториями перелета с одной круговой орбиты на другую, оптимальными по затратам скорости только на старте ("бомбежка") и по суммарным затратам скорости на старте и финише ("посещение")? Найти эти оптимальные траектории.

P.S. Надеюсь администрация не будет возражать, если я буду аккумулировать в одной теме "космические" задачки. Дело в том, что мне очень нравится вектор $\vec \varepsilon $ и легкость получаемых с его помощью результатов и я намерен его немножко здесь пропиарить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение02.03.2012, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):
Но если угол между r1 и r2 180 градусов (что возможно, хотя и [r1 x r2]=0), то по Вашему величины v1 и v2 бесконечны? :shock:

А, я внезапно осознал суть недоумения. Да, этот момент требует уточнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение06.03.2012, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Оказывается
Ричард Бэттин "Наведение в космосе", 1966
содержит все о чем я тут размышлял, собирался размышлять и даже то, о чем и не думал поразмыслить.

P.S. Велики были древние! :mrgreen:

P.P.S. Что же до вырождения формул для скоростей, то оно связано попросту с тем, что $p$ при $\theta  \to \pi$ стремится к конечному, одному и тому же для всех допустимых орбит пределу (множество допустимых орбит при этом отнюдь не вырождается) и перестает быть хорошим маркирующим орбиты параметром. Плюс к тому появляется дополнительная степень свободы: разфиксируется плоскость орбиты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небесная механика
Сообщение28.05.2014, 12:33 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
anik в сообщении #542982 писал(а):
Утундрий в сообщении #542944 писал(а):
Пробная частица движется по закону $$\ddot\vec r=-Gm\frac{\vec r}{r^3}$$
В правой части сила тяготения, а в левой? Где вторая тяготеющая масса?

в условии сказно же пробная частица.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group