2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интерполяционный многочлен Лагранжа
Сообщение28.05.2014, 05:20 


28/05/14
4
Дан многочлен $w(x)=(a_0 - x)(a_1 - x)...(a_n - x)$ в поле $K[X]$. Задание:выразить через $w(x)$ многочлен $f(x)$ наименьшей степени такой, чтобы:
$f(a_i)= \frac1{{a_i}^2}$
Указание: рассмотреть многочлен $x^2f(x)$.

Подскажите, пожалуйста, пути решения.

Предыдущее задание, где $f(a_i)= \frac1{{a_i}}$ решалось рассмотрением многочлена $xf(x) - 1$. Все значения в $a_i$ равнялось нулю, кроме нуля-там минус единица. По этим значениям строился интерполяционный многочлен Лагранжа: $g(x) = -\frac{w(x)}{w(0)}$. получаем $xf(x) - 1 = -\frac{w(x)}{w(0)}$.
В итоге имели $f(x) = \frac{w(0) - w(x)}{xw(0)}$ и это наш искомый многочлен. Ту же логику в текущем задании применять нельзя, потому что $f(x) = \frac{w(0) - w(x)}{x^2w(0)}$ уже не является многочленом. Вот здесь и проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционный многочлен Лагранжа
Сообщение28.05.2014, 06:57 
Заслуженный участник


11/05/08
31100
felix95 в сообщении #868674 писал(а):
потому что $f(x) = \frac{w(0) - w(x)}{x^2w(0)}$ уже не является многочленом.

Замените в числителе $w(x)$ на $w(x)\cdot(w(0)-xw'(0))$ и, соответственно, $w(0)$ на $w^2(0)$ -- вот и выйдет многочлен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционный многочлен Лагранжа
Сообщение28.05.2014, 08:17 


28/05/14
4
Можно тогда вопрос, как найти многочлен для $f(a_i)= \frac1{a_i^3}$. Именно, как найти? и каким он будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционный многочлен Лагранжа
Сообщение28.05.2014, 08:39 
Заслуженный участник


11/05/08
31100
felix95 в сообщении #868697 писал(а):
Именно, как найти?

Ну соответственно -- надо брать за основу $w(x)\cdot\left(w^2(0)-xw'(0)w(0)+x^2\big(-\frac12w''(0)w(0)+(w'(0))^2\big)\right)$. Производные здесь лишь для краткости записи -- они по теореме Виета явно выражаются через корни. И поскольку в таком виде формулы уже чисто алгебраические -- они работают в любых полях.

Впрочем, какое решение загадывалось -- не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционный многочлен Лагранжа
Сообщение28.05.2014, 08:54 


28/05/14
4
Если вас не затруднит, объясните пожалуйста подробнее. Третью ночь не сплю-уже плохо соображаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционный многочлен Лагранжа
Сообщение28.05.2014, 09:24 
Заслуженный участник


11/05/08
31100
Ну, для $f(a_i)=\frac1{a_i^k}$ нам подходит любое выражение выражение вида $\frac{A-w(x)\,p(x)}{A\,x^k}$, где $A$ -- любая константа и $p(x)$ -- любой многочлен. Надо лишь, чтобы после раскрытия скобок в числителе сокращались все степени вплоть до $x^{k-1}$. Коэффициенты $w(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+\ldots$ нам известны -- они по теореме Виета выражаются через корни. Ну так и обозначим $p(x)=1+p_1x+p_2x^2+\ldots+p_{k-1}x^{k-1}$, раскроем скобки, потребуем сокращения -- и получим систему уравнений на неизвестные $p_i$ (а фактически даже не уравнений, а рекуррентных соотношений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционный многочлен Лагранжа
Сообщение28.05.2014, 11:52 


28/05/14
4
Огромное вам спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group