2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 20:01 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Ищу $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos{x})(3+\cos{x})}; \int \frac{1}{(2+\cos{x})(3+\cos{x})} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg(\frac{\tg(\frac{x}{2})}{\sqrt{3}})+\frac{1}{\sqrt{2}} \arctg(\frac{\tg(\frac{x}{2})}{\sqrt{2}})$
Подставляя $x_1=2 \pi$ и $x_2=0$ и примерняя фор-лу Ньютона-Лейбница получаем: $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos{x})(3+\cos{x})} = F(x_1) - F(x_2) = 0$; Но это точно неверно, так как график изначальной подинтегральной функции полностью находится над $OX$, это же подтверждает и вольф. Не могли бы вы подсказать, где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В нарушении условий соответствующей теоремы. Например, замена у вас не непрерывная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 20:21 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
provincialka
То есть проблема в универсальной тригонометрической подстановке? Её нельзя делать или нужно что-то учесть, подправить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Найденная функция имеет разрывы 1-го рода с ненулевыми скачками на участке интегрирования, поэтому она не является первообразной ни в каком допустимом для формулы Ньютона-Лейбница смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 20:39 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Ага, вижу, да... Можно ли тогда вычислить интеграл от нуля до $\pi$ и от $\pi$ до $2\pi$ и сложить их?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Можно сразу по промежутку $[-\pi;\pi]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 20:55 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Так... А ведь в $\pi$ тангенс не существует. Мы должны в пределе должны брать? То есть, $\tg \to \infty $ => $\arctg \to \frac{\pi}{2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с интегралом
Сообщение27.05.2014, 21:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MestnyBomzh в сообщении #868557 писал(а):
То есть, $\tg \to \infty $ => $\arctg \to \frac{\pi}{2}$?

Можно так, но можно и тупее (и, кстати, надёжнее). Как только сделали универсальную тригподстановку -- немедленно пересчитайте и пределы и больше к иксам не возвращайтесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group