2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение26.05.2014, 23:08 


16/12/13
39
ewert в сообщении #868177 писал(а):
Точки, где функция равна нулю, определяют ядро. А что из себя представляет ортогональное дополнение к этому ядру -- и как на этом дополнении ведёт себя оператор?...


Так как у нас пространство $L^2(\mu)$ - гильбертово, то оно представляется в виде прямой суммы $KerA_{\varphi}$ и ортогонального дополнения к нему. На ортогональном дополнении наш оператор инъективен, т.е. взаимно однозначен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение26.05.2014, 23:13 


10/02/11
6786
Гильбертовость в данном случае не по делу


bahad в сообщении #867637 писал(а):
Задача. Пусть $\mu$ - ограниченная борелевская мера на прямой и $\varphi$ - ограниченная $\mu$-измеримая функция. Когда оператор $A_{\varphi}$ умножения на $\varphi$ в $L^2(\mu)$ имеет замкнутый образ?

Подскажите, с чего тут можно начать, идей нормальных нет, попытался по определению сделать, заступорился на месте, может нужно тут помухлевать с помощью проективных мер или поиграться со множеством точек, на которых функция отлична от нуля и рассмотреть ограничение меры на это множество или на множество существенных значений этой функции (это спектр данного оператора)...


Например, можно действовать так.
Зададим оператор $A:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R}),\quad p\in[1,\infty]$ формулой $Au=\psi u,\quad \psi\in L^\infty(\mathbb{R})$. Предположим, что существует такая константа $c>0$, что для почти всех $x$ верна импликация:
$$\psi(x)\ne 0\Longrightarrow |\psi(x)|\ge c.$$
Терема. Образ оператора $A$ замкнут.
Доказательство основано на теореме по ссылке см. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение26.05.2014, 23:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bahad в сообщении #868196 писал(а):
На ортогональном дополнении наш оператор инъективен, т.е. взаимно однозначен.

Чего и достаточно. Надо лишь аккуратно обосновать, почему он там инъективен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 05:11 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #868198 писал(а):
Зададим оператор $A:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R}),\quad p\in[1,\infty]$ формулой $Au=\psi u,\quad \psi\in L^\infty(\mathbb{R})$. Предположим, что существует такая константа $c>0$, что для почти всех $x$ верна импликация:
$$\psi(x)\ne 0\Longrightarrow |\psi(x)|\ge c.$$
Терема. Образ оператора $A$ замкнут.


А верна ли обратная теорема? Похоже, что да. Это бы давало полное решение задачи. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 07:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mishafromusa в сообщении #868279 писал(а):
А верна ли обратная теорема?

Обратная теорема -- это ровно теорема Банаха и есть: если образ замкнут, то мы имеем дело с биекцией между дополнением до ядра и образом, а тогда обратный ограничен; или, что то же, значения $\varphi$ отделены от нуля.

В другую сторону -- вообще как-то даже неловко называть теоремой: если обратный ограничен, а прямой задан на замкнутом множестве, то тогда и обратный -- тоже на замкнутом (просто потому, что его можно было бы расширить на замыкание образа по непрерывности, а расширять-то и некуда).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 07:53 


10/02/11
6786
$L^p$ разложить в прямую сумму
mishafromusa в сообщении #868279 писал(а):
А верна ли обратная теорема? Похоже, что да. Это бы давало полное решение задачи.

верна, доказывается от противного из той же теоремы по ссылке

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 09:07 


10/02/11
6786
рассмотрите еще случай $\psi\in L^s,\quad A:L^p\to L^{?}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group