2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 01:13 


26/05/14
9
Помогите решить задачу. Определить вид сходимости интегрального оператора.
$\mathbf B (L_2[0,1]) : A_n = A^n$, где $(Ax)(t) = \int_0^t K(t,s)x(s) ds$ , $ K \in L_2 ([0, 1]^2)$.
Можно оценить $\int^1_0(\int_0^t K(s,t)x(s )ds)^2dt \le ||x(t)||^2\int^1_0(\int_0^1 K^2(s,t)ds)dt$. Но без каких либо оценок на $K$ это ничего не дает.
Утверждается что $A_n \mapsto 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 06:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
artvl в сообщении #867879 писал(а):
Можно оценить $\int^1_0(\int_0^t K(s,t)x(s )ds)^2dt \le ||x(t)||^2\int^1_0(\int_0^1 K^2(s,t)ds)dt$.

Слишком грубо. Это оператор Вольтерра и, следовательно, нильпотентен (т.е. имеет нулевой спектральный радиус).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 13:35 


26/05/14
9
Я правильно понимаю, что из этого факта и определения спектрального радиуса прямо следует сходимость по норме к 0?
$$\lim_{n\to \infty} ||A^n||^{1/n} = 0 \Rightarrow ||A_n|| = ||A^n|| \mapsto 0 $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 21:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Правильно понимаете. Я, правда, не очень понимаю (в свою очередь), в чём глубокий философский смысл этой задачки. Нильпотентность оператора Вольтерра общеизвестна, а без неё тут как-то не совсем как или совсем никак. Предлагалось доказать именно её, что ли?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 23:06 


26/05/14
9
Честно говоря не уверен что такой смысл есть. Эта задача из книги "Задачи по ФА" Бородин, Шейпак, Савчук. Вдруг кому понадобится.
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group