2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 18:27 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
В $\mathbb{R}^3$ заданы два гладких векторных поля $X,Y$.
Известно, что $X\times\operatorname{rot}Y=\operatorname{grad}f$ и $\operatorname{rot}{Y}(\operatorname{div}X)=0$.
Докажите, что в односвязной области линейной независимости $X,\operatorname{rot}{Y}$ поле $X$ интегрируется в квадратурах.
Попросту говоря, найдите квадратурами еще один первый интеграл для $X$ (поскольку $f$ уже известен).
P.S. хорошо известен частный случай $X,Y=v$, где $v$ - поле скоростей стационарного движения идеальной несжимаемой жидкости с потенциальными массовыми силами и баротропией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 18:53 


10/02/11
6786
scwec в сообщении #867040 писал(а):
и $\operatorname{rot}{Y}(\operatorname{div}X)=0$.

не понял эту формулу

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Как читается ваша вторая формула?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 19:18 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Вcё в эвклидовых координатах. $\operatorname{rot}{Y}$ - векторное поле, $\operatorname{div}{X}$ - функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 19:22 


10/02/11
6786
там, что умножить на дивиргенцию ? ротор от Y или от произведения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 19:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Уже совсем грубо. Пусть векторное поле $Z=\operatorname{rot}{Y}$ и функция $F=\operatorname{div}{X}$.
Второе условие: $Z(F)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Что означает нотация ``векторное поле'' $($``функция''$)$? И заодно, в каком учебнике она введена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 21:09 


10/02/11
6786
где только такая нотация не введена, это производная Ли

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 21:12 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для Munin: очень хорошо Вас понимаю.
Лучше всего Вам прочитать и освоить текст В.И.Арнольда из книги "Математические методы классической механики" (у меня третье издание) в данном случае стр. 169 и далее (Д. Пример 2. Векторный анализ).
Предложенная мной задача совсем не тривиальная. Но её нельзя решать, пока не освоены азы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение23.05.2014, 23:54 


10/02/11
6786
введем обозначения $v=X,\quad u=rot\, Y,\quad g=div\, X$. Тогда $g$ --- первый интеграл поля $u$ и $f$ -- первый интеграл полей $u,v$.

возьмем ротор от обеих частей равенства
scwec в сообщении #867040 писал(а):
то $X\times\operatorname{rot}Y=\operatorname{grad}f$


получим $[u,v]=g u.$

Векторное поле $u$ интегрируется.

Сузим поля $u,v$ на поверхность уровня $f$ и выпрямим поле $u:\quad u=(1,0).$
В этих координатах $$g=g(x^2),\quad v^2=v^2(x^2),\quad v^1=x^1g(x^2)+C(x^2)$
следовательно, система $\dot x^1=v^1,\quad \dot x^2=v^2$ интегрируется

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение24.05.2014, 05:50 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Да, всё правильно. Задача фактически на применение формулы гомотопии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение24.05.2014, 07:06 


10/02/11
6786
а как это делать в инвариантных терминах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторный анализ в R^3
Сообщение24.05.2014, 10:29 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
По поводу инвариантности.
Пусть $\omega^1,\omega^2$ дуальные формы к полям $X,\operatorname{rot}Y$ на $f=\operatorname{const}$, тогда интегрирующий множитель для обеих форм равен $\operatorname{\exp}(\int{-\operatorname{div}X\cdot\omega^1})$ ( доказательство общего утверждения в теме о групповом анализе).
Таким образом находятся первые интегралы для полей $X,\operatorname{rot}Y$ на $f=\operatorname{const}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group