2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение19.05.2014, 18:18 


20/12/12
100
Поле - коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей и все ненулевые элементы обратимы.

Кольцо - непустое множество, на котором определены 2 операции: сложение и умножение, сопоставляющие каждым 2-м элементам их сумму и произведение.
Предполагается, что операции удовлетворяют условиям:
1. Все элементы по сложению образуют абелеву группу с нулевым элементом 0;
2. Умножение дистрибутивно относительно сложения;
3. Ассоциативность умножения;
4. Коммутативность умножения;
5. Существование единичного элемента.

Подкольцо - собственное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению и всесте с каждым элементом содержит противоположный (остальные свойства кольца выполняются автоматически, т.к. это собственное подмножество).
_____________

Это были определения из лекций.

Теперь мои мысли: Кольцо в поле, значит кольцо содержит элементы какие-то, их обратные, нулевой элемент, противоположные и единичный элемент.

Подкольцо содержит элемент и его противоположный, значит и нулевой.

Вопрос: Есть ли в подкольце единица? Если есть, то почему?

-- 19.05.2014, 19:27 --

Или определения не всю информацию выдали, либо под словом "противоположным" автор имел в виду противоположный по сложению, обратный по умножению. Не пойму. Спросить не вариант, не ответит.

Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение19.05.2014, 20:15 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Противоположный - это обратный по сложению.
Есть разные определения подкольца, в одном случае требуется наличие в подкольце единицы, а в другом - нет. Соответственно и единица в первом случае обязательно будет, а во втором - может быть, может быть единица, отличная от единицы кольца, а может и не быть вовсе. В вашем определении подкольцо единицу содержать не обязано, что вообще странно, так как это не согласовано с определением кольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 10:02 


20/12/12
100
AV_77
, как мне теперь доказать, что в подкольце есть единица?

Если что, то речь идет о кольце матриц на полем. В кольце есть двусторонний идеал.

Получается, что идеал - это подкольцо. Надо доказать, что там есть единица.

Можно ли сказать, пусть идеал не совпадает с кольцом, $\exists A \in R, A \notin I,$ и как-то объяснить, что идеал образует свое кольцо? А раз идеал - кольцо, то там есть единичный элемент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 11:15 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Есть пять возможностей (мы говорим о коммутативных кольцах):

1) Кольцо $R$ содержит единичный элемент $1_R\in R$, его подкольцо $S$ также его содержит: $1_R\in S$;

2) Кольцо $R$ содержит единичный элемент $1_R\in R$, его подкольцо $S$ его не содержит: $1_R\notin S$; более того, ни один из элементов кольца $S$ не является единицей кольца $S$: $\nexists 1_S\in S\colon \forall x\in S\quad x\cdot 1_S=1_S\cdot x = x.$ Пример: $R$ — кольцо целых чисел, $S$ — кольцо четных чисел;

3) Кольцо $R$ содержит единичный элемент $1_R\in R$, его подкольцо $S$ его не содержит: $1_R\notin S$; однако у кольца $S$ имеется собственный единичный элемент $1_S\in S\colon \forall x\in S\quad x\cdot 1_S=1_S\cdot x = x.$ Пример: $R$ — кольцо вычетов по модулю шесть; $S$ — его подмножество $\{\overline0,\overline2,\overline4\}$ (нетрудно видеть, что $\overline4$ является единичным элементом).

4) Кольцо $R$ не содержит единичного элемента, однако его подкольцо $S$ имеет собственный единичный элемент $1_S\in S\colon \forall x\in S\quad x\cdot 1_S=1_S\cdot x = x,$ который, повторю еще раз, не является единичным элементом кольца $R$: $\exists y\in R\colon 1_S\cdot y \ne y.$ Пример: $R$ — прямое произведение $\mathbb Z\times 2\mathbb Z$ кольца целых чисел и кольца четных чисел, $S$ — его подмножество $\{0\}\times 2\mathbb Z$.

5) Кольцо $R$ не содержит единичного элемента, и его подкольцо $S$ тоже не содержит единичного элемента. Пример: $R$ — кольцо четных чисел, $S$ — кольцо чисел, кратных четырем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 18:52 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
misha89 в сообщении #865447 писал(а):
Можно ли сказать, пусть идеал не совпадает с кольцом, $\exists A \in R, A \notin I,$ и как-то объяснить, что идеал образует свое кольцо? А раз идеал - кольцо, то там есть единичный элемент?

Нет, конечно. Вы все-таки разберитесь с определениями.

Поводу кольца матриц. Надо пользуясь свойствами идеалов показать, что если $I$ - ненулевой идеал кольца матриц над полем $M_n(P)$, то он содержит все матричные единицы. Это не так сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 19:58 


20/12/12
100
AV_77, кольцо $R$, идеал $I$
$a_{n \times m} \in R, b_{m \times l} \in I \Rightarrow a_{n \times m}b_{m \times l} = c_{n \times l} \in I;$
$d_{l \times z} \in R, c_{n \times l} \in I \Rightarrow c_{n \times l}d_{l \times z} = g_{n \times z} \in I;$
Получается, что идеал содержит матрицы всех размеров.
$\exists e \in R, \forall a \in R, b \in I: eb = be = b \in I.$
Идеал должен быть замкнут относительно операции сложения и умножения, значит $ b^{-1} \in R, b \in I: b^{-1}b, bb^{-1} \in I, b^{-1}b = bb^{-1} = e \Rightarrow e \in I.$

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 20:16 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Тут не то чтобы не верно, а просто что-то бессмысленное написано.

Давайте начнем сначала. Какое у вас кольцо? А лучше даже так: как у вас задача формулируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 20:24 


20/12/12
100
AV_77, доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо совпадает с кольцом, либо нулевой.

Если в идеале есть единичный элемент, то он совпадает. Остается доказать, что он там есть, верно?
У меня бессмыслица даже насчет матриц всех размеров? Не согласен, логично же все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 20:28 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
misha89 в сообщении #865707 писал(а):
У меня бессмыслица даже насчет матриц всех размеров? Не согласен, логично же все.

Ничего логичного нет. Множество всевозможных матриц (всех размеров) кольцом не является (почему?). Так что вам первый вопрос: множество каких матриц является кольцом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 20:39 


20/12/12
100
AV_77, получается только квадратные матрицы образуют кольцо?
Но тогда почему вы написали
AV_77 в сообщении #865623 писал(а):
... то он содержит все матричные единицы.
Я понял "все" значит всех размеров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 21:01 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Матричные единицы и единичные матрицы это разные понятия. Множество квадратных матриц порядка $n$ содержит одну единичную матрицу и $n^2$ матричных единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 21:25 


20/12/12
100
AV_77
, понял.

misha89 в сообщении #865707 писал(а):
AV_77, доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо совпадает с кольцом, либо нулевой.

Если в идеале есть единичный элемент, то он совпадает. Остается доказать, что он там есть, верно?


Пусть идеал не совпадает с кольцом, надо доказать, что в идеале есть единица, тогда мы получим противоречие.

Как это доказать?

Идеал замкнут относительно сложения. Двусторонний идеал $a \in R, b \in I: ab, ba \in I.$
$(b) = \{a\cdot b+nb\}, \Rightarrow (b) = \{ b\cdot (a +e+e+e+...)\} = \{b\cdot a_1\}.$
Если воспользоваться определением идеала и вот так довести его до короткой записи, то можно сказать, что и простой элемент $ab$, и $a_1b \in I. А раз идеал замкнут по сложению, то можно представить a_1b = (a+e)b $и из этого вычесть первое $(a+e)b -ab = eb =b.$:(

Помогите решить

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение20.05.2014, 21:35 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Я же написал как решать. Вот чуть подробнее.
1) Начните с одной ненулевой матрицы $A$ в этом идеале. Для определенности можно считать, что элемент $a_{11}$ в первой строке и первом столбце ненулевой. Это не накладывает каких-либо ограничений, так как перестановкой строк и столбцов (этого можно добиться умножением на подходящие матрицы) можно добиться выполнения этого условия.
2) Подберите такие матрицы $B$ и $C$, чтобы выполнялось равенство $E_{11} = BAC$. Здесь $E_{11}$ - матричная единица.
3) Покажите, что для любой матричной единицы $E_{rs}$ можно найти подходящие матрицы $P$ и $K$ такие, что $E_{rs} = PE_{11}K$.
4) Сделайте нужный вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?
Сообщение21.05.2014, 18:53 


20/12/12
100
Спасибо, разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group