2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:26 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Есть такая задачка: Выразить через интегральный синус и/или косинус $$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx$$

Интегрируя по частям, получаю $$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx = - \frac{1}{4} \left ( \frac{\cos(2)}{5} - \frac{\cos(0.2)}{3.2} \right ) - \frac{1}{4} \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(x)}{x+3} dx$$

Рассмотрим последний интеграл, делаем в нем замену $t=x+3$, получаем $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t-3) dt}{t}$$

Раскрываем синус разности $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t) \cos(3) - \cos(t) \sin(3) }{t}dt$$

В итоге приходим к двум интегралам $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t}dt$$ и $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\cos(t)}{t}dt$$

Очень хотелось бы сделать так $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t}dt = \operatorname{Si}(2) - \operatorname{Si}(0.2)$$ и аналогично для косинуса, причем матпакеты говорят, что так оно и есть... Но есть одно но, интегральный синус определяется как $$\operatorname{Si}(x) = \int\limits_{0}^{x} \frac{\sin(t)}{t} dt$$ то есть нижний предел в интеграле - ноль, а у меня не ноль...

Подскажите, пожалуйста, кто прав и как быть :|

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:34 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Аддитивностью интеграла воспользуйтесь. Разбейте на нужные промежутки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:36 


07/03/11
690

(Оффтоп)

опередили :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:38 


29/08/11
1759
Otta
Нужно чтобы нижний предел был ноль, но ноль не лежит на отрезке $[0.2;2]$... На какие промежутки? :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну и сделайте ноль. Добавьте-вычтите нужное, ну не маленький же, учить Вас. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:47 


29/08/11
1759
Otta
$$\int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t} dt = \int\limits_{0}^{2} \frac{\sin(t)}{t} dt  - \int\limits_{0}^{0.2} \frac{\sin(t)}{t} dt  = \operatorname{Si}(2) - \operatorname{Si}(0.2)$$

То есть справедливо $$\int\limits_{a}^{b} \frac{\sin(t)}{t} dt = \operatorname{Si}(b) - \operatorname{Si}(a)$$

Но почему тогда этот факт никто не пишет? :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79 в сообщении #865882 писал(а):
Но почему тогда этот факт никто не пишет?

А зачем? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:54 


29/08/11
1759
Otta,
Ну... эээ... не знаю :D как-то логичней что-ли определить первообразную, чем какие-то частные случаи...

А можно ли в самом начале сделать замену $t=x-0.2$, тогда $$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx = \int\limit_{0}^{1.8} \frac{\cos(t-0.2)}{(2t+6.4)^2} dt$$

И дальше тем же путем? Так меньше телодвижений получается :-)


Хотя не, интегральный косинус по-другому определяется, поэтому не вижу особого смысла.

-- 21.05.2014, 04:07 --

Otta
Спасибо за помощь! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 03:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79 в сообщении #865884 писал(а):
ак-то логичней что-ли определить первообразную, чем какие-то частные случаи...

Так Вам именно первообразную и определили. Одну из.
Limit79 в сообщении #865884 писал(а):
А можно ли в самом начале сделать замену

Можно. Телодвижений столько же. ))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group