2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 14:56 


18/04/14
157
sbp
Нужно как-то вычислить интеграл
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x^{2m}dx} { 1 + x^{2n} } $$
$$ m < n $$

Рассматриваем подынтегральную функцию $ f(x) =  \frac {x^{2m}} { 1 + x^{2n} } $
Данная функция имеет $2n$ особых точки: $ x = \sqrt[2n] {-1} $
Еще, известно, что выше данный интеграл будет равен сумме вычетов в особых точках, которые лежат в верхней полуплоскости, умноженное на $2 \pi i$

Подскажите, какой шаг следующий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 15:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Katmandu в сообщении #862645 писал(а):
какой шаг следующий?

Честно выписать эти вычеты и сложить -- получится геометрическая прогрессия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 15:19 


18/04/14
157
sbp
для всех $  x_k = \cos \frac {\pi + 2 \pi k} {2n} + i \sin \frac {\pi + 2 \pi k} {2n} $ , $k = 0, ... , n-1 $

рассмотреть $ f(x) = \frac {x^{2m} } { ( x - x_0) ( x - x_1) ... (x - x_{n-1}) } $

И для каждого пробовать считать вычет? Откуда здесь геометрическая прогрессия появляется :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 15:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Katmandu в сообщении #862653 писал(а):
рассмотреть $ f(x) = \frac {x^{2m} } { ( x - x_0) ( x - x_1) ... (x - x_{n-1}) } $

Вот чего не надо, того не надо. Полюса-то ведь простые, поэтому вычеты разумнее считать через производную знаменателя.

Katmandu в сообщении #862653 писал(а):
Откуда здесь геометрическая прогрессия появляется :shock:

А кто заставлял Вас выписывать корни в тригонометрической форме? Естественно, надо в показательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 15:32 


18/04/14
157
sbp
Ну если $x_k = e ^ {i \frac {\pi + 2 \pi k } {2n} } , k = 0,..., n-1 $

то все равно нужно $(x - x_k)$ вынести из знаменателя, чтобы брать производную..

Или домножать $f(x)$ на $(x - x_k)$ и брать производную, после чего искать предел ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 15:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Katmandu в сообщении #862661 писал(а):
то все равно нужно $(x - x_k)$ вынести из знаменателя, чтобы брать производную..

Вовсе нет. Это в общем случае так надо; но в частном случае, когда корень знаменателя простой... У вас должна была быть на этот счёт соответствующая теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 16:09 


18/04/14
157
sbp
ewert в сообщении #862664 писал(а):
У вас должна была быть на этот счёт соответствующая теорема.


Должна быть теорема, по которой будем считать $ \operatorname{res}(f(x_k)) $ ? :shock:
В ряд Лорана раскладывать?

Про поиск через производную знаменателя - не слышал такую теорему. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 16:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Katmandu в сообщении #862679 писал(а):
Про поиск через производную знаменателя - не слышал такую теорему. :oops:

Очень плохо. Или ваше начальство халтурит, или Вы так его слушаете.

Теорема. Если $z_0$ -- простой корень $h(z)$, то $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=z_0}\dfrac{g(z)}{h(z)}=\dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}$.

И это должен знать каждый!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл ТФКП
Сообщение13.05.2014, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Получившийся результат можно проверить, если посчитать интеграл через В-функцию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group