2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 13:06 


13/05/14
14
Будем рассматривать полиномы вида
$$P(s)=P^{even}(s)+P^{odd}(s)$$
где, $P(s)^{even}$ содержит все четные степени $P(s)$, а $P^{odd}(s)$ все нечетные.
Рассмотрим два полинома с одинаковой четной частью
$$P_1(s)=P^{even}(s)+P_1^{odd}(s)$$
$$P_2(s)=P^{even}(s)+P_2^{odd}(s)$$
Известно, что они оба устойчивы. Требуется доказать устойчивость полинома
$$Q(\alpha, \beta, s) = P^{even}(s)+\alpha P_1^{odd}(s)+\beta P_2^{odd}(s)$$
для любых $\alpha, \beta > 0$

Я пробовал воспользоваться теоремой о пересечении границ. Ничего не вышло, т. к. вообще не понимаю в чем суть этой теоремы. Потом пытался воспользоваться обобщением принципа исключения нуля. Удалось доказать, что $Q(\alpha, \beta, i\omega)\not= 0$, но не получилось найти в этом семействе устойчивого полинома, чтобы применить теорему. Ну и в отчаянии решился на использование критерия Гурвица. Там совсем запутался.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.05.2014, 13:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5678
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
$P_1^{odd}(s), P_2^{odd}$ не определены

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 13:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31202
По одному из критериев Михайлова устойчивость многочлена равносильна правильности чередования корней его чётной и нечётной составляющих. По предположению корни как $P_1^{odd}(s)$, так и $ P_2^{odd}(s)$ лежат в правильных интервалах. Остаётся доказать, что у любой их нетривиальной линейной комбинации ( с коэффициентами одного знака) каждый из этих корней не выйдет из своего интервала; ну так это следует попросту из теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.

-- Вт май 13, 2014 14:49:55 --

Deggial в сообщении #862609 писал(а):
$P_1^{odd}(s), P_2^{odd}$ не определены

Что значит "не определены"? По условию задачи они таковы, что обеспечивают устойчивость каждой из двух сумм, и этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 14:45 


13/05/14
14
Я так понял, что "один из критериев Михайлова", на который вы ссылаетесь, это теорема Эрмита-Билера http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%80%D0%B0
У вас ее не верное толкование. Тем более, что по условию не известно, что корни $P_1^{odd}(s)$ и $ P_2^{odd}(s)$ лежат в нужных интервалах, так как это не следует из того, что полиномы $P_1(s)=P^{even}(s)+P_1^{odd}(s)$ и $P_2(s)=P^{even}(s)+P_2^{odd}(s)$ устойчивы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 15:00 
Заслуженный участник


11/05/08
31202
Я имел в виду вот что. Обычно критерий Найквиста-Михайлова формулируют в терминах годографа: устойчивость многочлена равносильна тому, что при перемещении $s$ вдоль мнимой оси значение $P(s)$ делает правильное количество полуоборотов на комплексной плоскости (и это почти непосредственно следует из принципа аргумента). Однако есть и другой вариант этого критерия, который кто-то где-то, если мне не отшибает память, называет вторым критерием Михайлова:

Многочлен $P(s)$ устойчив тогда и только тогда, когда:
1) устойчивы многочлены $f(t)=P^{even}(\sqrt t)$ и $g(t)=\frac1{\sqrt t}P^{odd}(\sqrt t)$;
2) корни этих многочленов чередуются, причём ближайшим к нулю является корень $f(t)$.


Эквивалентность этих двух формулировок должна быть очевидной, во всяком случае, в принципе: если годограф делает правильное количество полуоборотов, то он вынужденно пересекает вещественные и мнимые полуоси во вполне определённом порядке, а это как раз и означает именно такое чередование корней $f$ и $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 15:23 


13/05/14
14
Ну так то да. Согласен с вашей формулеровкой. Теорема Эрмита-Билера сама непосредственно следует из критерия Михайлова.
Но решение от этого верным не становится)

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 15:28 
Заслуженный участник


11/05/08
31202
Vintovar в сообщении #862641 писал(а):
по условию не известно, что корни $P_1^{odd}(s)$ и $ P_2^{odd}(s)$ лежат в нужных интервалах,

Как это неизвестно?... Корни чётной составляющей ведь фиксированы, вот они и зажимают корни обеих нечётных.

-- Вт май 13, 2014 16:53:10 --

ewert в сообщении #862646 писал(а):
1) устойчивы многочлены $f(t)=P^{even}(\sqrt t)$ и $g(t)=\frac1{\sqrt t}P^{odd}(\sqrt t)$;

Упс, пардон. Это я попытался сократить формулировку и сделал это неудачно. Правильная версия: "если все корни этих многочленов -- простые и отрицательные".

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 16:29 


13/05/14
14
Хорошо. но я все равно не до конца понял вашу мысль.
Пусть $P_1(i\omega)=P^{even}(i\omega)+\frac{P_1^{odd}(i\omega)}{i\omega} = P^{e}+iP_1^{o}$. Аналогично для $P_2$. Известно, что корни полиномов $P^{e}$ и $P_{1}^{o}$ просты, вещественны и чередуются. Так же для $P_2$.
$Q(\alpha, \beta, i\imega) = P^{e}(\omega)+i(\alpha P_1^{o}(\omega)+\beta P_2^{o}(\omega))$. Доказать, что корни нетривиальной линейной комбинации полиномов $P_1^{o}(\omega)$ и $P_2^{o}(\omega)$ остаются в интервалах, ограниченных корнями $P^{e}(\omega)$. Но как это следует из теоремы Больцано-Коши?

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 16:48 
Заслуженный участник


11/05/08
31202
Vintovar в сообщении #862686 писал(а):
Но как это следует из теоремы Больцано-Коши?

Хорошо, уточним. Пусть $t_1^{(0)},\,t_2^{(0)},\,\ldots$ -- корни многочлена $f(t)$, $t_1^{(1)},\,t_2^{(1)},\,\ldots$ -- корни $g_1(t)$ и $t_1^{(2)},\,t_2^{(2)},\,\ldots$ -- корни $g_2(t)$. Из устойчивости многочленов $P_1(s)=f(s^2)+s\,g_1(s^2)$ и $P_2(s)=f(s^2)+s\,g_2(s^2)$ следует, что корни $t_k^{(1)}$ чередуются с корнями $t_k^{(0)}$, и ровно таким же способом чередуются с ними корни $t_k^{(2)}$. Это означает, что каждая пара корней $t_k^{(1)},\;t_k^{(2)}$ попадает в один и тот же из интервалов, на которые вещественная ось делится точками $t_i^{(0)}$. А надо доказать, что в тот же самый интервал попадает и соответствующий (по номеру) корень $t_k$ многочлена $g(t)=\alpha\,g_1(t)+\beta\,g_2(t)$. Ну так и докажите более сильное утверждение -- что $t_k$ лежит в интервале между $t_k^{(1)}$ и $t_k^{(2)}$. Для этого Больцано-Коши вполне достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 17:30 


13/05/14
14
Спасибо вам большое. Я вас понял)

-- 13.05.2014, 18:13 --

Хотя...
Пусть $g( t_k^{(1)})=\beta g_2( t_k^{(1)})=\beta A$ и $g( t_k^{(2)})=\alpha g_2( t_k^{(2)})=\alpha B$, тогда по теореме Больцано-Коши для любого С из промежутка $[\beta A; \alpha B]$
существует точка $t_k$ из $[t_k^{(1)};t_k^{(2)}]$ такая что, $P(t_k)=C$. В нашем случае С=0 должно быть. Но почему ноль будет принадлежать $[\beta A; \alpha B]$? Что мы знаем о знаках $A$ и $B$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость полинома
Сообщение13.05.2014, 20:15 
Заслуженный участник


11/05/08
31202
Vintovar в сообщении #862707 писал(а):
Что мы знаем о знаках $A$ и $B$?

Достаточно много знаем. Мы знаем, что каждый из многочленов не меняет знака от своего корня и вплоть до корня другого. И что в своих корнях они меняют знак в одном и том же направлении. Этого достаточно, чтобы их сумма принимала в этих корнях значения разных знаков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group