Найти определитель

[Katmandu]

Найти определитель $e^A$ , не вычисляя матрицу $e^A$

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} $$

Самое первое, что пришло в голову, это найти собственные числа, но они там такие, что ни в сказке сказать, ни пером написать.

Также можно попробовать найти матрицу $M = C^{-1} A C $, но не могу подобрать матрицу С, да и смысл подбирать.. У матрицы $M$ собственные числа не будут отличны от матрицы $A$.

Что же делать дальше

[provincialka]

А если вы все же найдете собственные числа (обозначьте их пока буквами), то как через них будет выражаться $\det(e^A)$?

[arseniiv]

А матрица точно правильная, без опечаток? Mathematica с ума сходит. А, я неправильно просил.

[nnosipov]

Katmandu в сообщении #862198 писал(а):

Самое первое, что пришло в голову, это найти собственные числа, но они там такие, что ни в сказке сказать, ни пером написать.

А не нужно собственные числа находить. Эта задача вообще-то для устного счёта.

[Katmandu]

Если они все различны, то определитель будет равен $ e^{(\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3)} $
__________________________
Матрица правильная, я проверил еще раз
__________________________

-- 12.05.2014, 15:48 --

nnosipov в сообщении #862203 писал(а):

Эта задача вообще-то для устного счёта.

Я не так умен, чтобы на ходу понять, что определитель будет равен $e^{SpA}$

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #862202 писал(а):

Mathematica с ума сходит.

А Вы приближённо посчитайте. Maple справился легко.

-- Пн май 12, 2014 17:06:41 --

Katmandu в сообщении #862204 писал(а):

Я не так умен, чтобы на ходу понять, что определитель будет равен $e^{SpA}$

Но ведь поняли же.

[Katmandu]

Хм, не понимать... Сумма собственных чисел матрицы равно ее следу ???

[arseniiv]

nnosipov в сообщении #862206 писал(а):

А Вы приближённо посчитайте. Maple справился легко.

Уже посчитал и точно, $1/e$. Всё-таки надо аккуратно пользоваться системами.

[provincialka]

nnosipov в сообщении #862206 писал(а):

А Вы приближённо посчитайте. Maple справился легко.

(Оффтоп)

Подумаешь, я и на Ecxel приближенно посчитала! Чай, не баре, можем и по-простому... Ответ сошелся.

[nnosipov]

(Оффтоп)

А мы со студентами на занятии обычно используем Wolframalpha, он всегда под рукой.

[provincialka]

nnosipov в сообщении #862213 писал(а):

(Оффтоп)

А мы со студентами на занятии обычно используем Wolframalpha, он всегда под рукой.

(Оффтоп)

Наши студенты, наверное, тоже пользуются. Но я же дома решала, нет у меня пакетов. Они, небось, платные. Да и лень разбираться

[ИСН]

Katmandu в сообщении #862207 писал(а):

Хм, не понимать... Сумма собственных чисел матрицы равно ее следу ???

Ну а как ещё. Про Жорданову нормальную форму знаете? Так вот, некоторые вещи (не хочу говорить прямо, какие именно) у матрицы будут такие же, как у её нормальной формы. Определитель, например. И след, например. А что такое след у нормальной формы?