2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поведение ряда с периодическими функциями
Сообщение11.05.2014, 00:23 


29/08/11
1137
Как можно охарактеризовать сумму $$\sum_{i=0}^n f(i)g(i),$$ где $f(x), g(x)$ -- непрерывные переодические функции с соизмеримыми периодами, например $\tau$ и $\eta$. Также известно, что если $h$ непрерывная, то $$\int\limits_{a}^{b} h(x)f(nx)\, dx \to \frac{1}{\tau}\int\limits_{0}^{\tau} f(x)\, dx \int\limits_{a}^{b} h(x)\, dx, \quad n\to \infty.$$ Аналогично и для $g(x):$ $$\int\limits_{a}^{b} h(x)g(nx)\, dx \to \frac{1}{\eta}\int\limits_{0}^{\eta} g(x)\, dx \int\limits_{a}^{b} h(x)\, dx, \quad n\to \infty.$$

Интересно, когда можно зажать эту сумму между двумя сходящимися интегралами, чтобы при $n \to \infty$ сумма сходилась бы к чему-то?

Что можно сказать о рядах $\sum_{i=0}^n h(i)f(i)g(i), \sum_{i=0}^n h^2(i)f(i)g(i),$ к чему они сходятся, если это так?

Наиболее интересно, когда и к чему сходится разность $$\int\limits_0^n f(x)g(x)\, dx - \sum_{i=0}^n f(i)g(i).$$

Какие общие рассуждения можно применить? Что из себя представляет сумма $\sum_{i=0}^n f(i)g(i)$ в геометрической интерпритации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение ряда с периодическими функциями
Сообщение11.05.2014, 09:15 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Keter в сообщении #861528 писал(а):
Наиболее интересно, когда и к чему сходится разность $$\int\limits_0^n f(x)g(x)\, dx - \sum_{i=0}^n f(i)g(i).$$

Есть формула суммирования Эйлера-Маклорена. Там эта разность явно представляется через другие выражения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group