2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 16:54 


08/05/14
30
nnosipov в сообщении #860796 писал(а):
StahisT в сообщении #860622 писал(а):
Я составил определитель Вандермонда: ... И вот не знаю, что делать дальше.
Ваша проблема в том, что Вы не понимаете, зачем нужно составлять этот самый определитель Вандермонда. Вот и составляете его абы как. И получается в результате бессмыслица.

Начните с того, что запишите условие линейной зависимости применительно к данной системе функций.
StahisT в сообщении #860705 писал(а):
Забыл добавить, над полем $\mathbb{R}$
Это как раз неважно.


Условие зависимости: $a_1 + a_2\cos x +  a_3\cos^2 x + ... + a_k\cos^k x = 0$
где хотя бы один из a_1...a_k отличен от нуля.

Что можно сделать дальше? и может реально как-то без определителя Вандермонда можно проще проверить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 17:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
StahisT в сообщении #860906 писал(а):
Что можно сделать дальше?

Замену.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 18:57 


08/05/14
30
ewert в сообщении #860907 писал(а):
StahisT в сообщении #860906 писал(а):
Что можно сделать дальше?

Замену.


t=\cos x

a_1 + a_2t + a_3t^2 + ... + a_{k+1}t^k = 0

Что дальше с этим делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 19:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
StahisT в сообщении #860965 писал(а):
Что дальше с этим делать?

Убрать лишний слэш.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 19:04 


08/05/14
30
ewert в сообщении #860968 писал(а):
StahisT в сообщении #860965 писал(а):
Что дальше с этим делать?

Убрать лишний слэш.


Сделал :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 19:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
StahisT в сообщении #860965 писал(а):
$a_1 + a_2t + a_3t^2 + ... + a_kt^k = 0$
Подправьте и здесь: слагаемых в левой части $k+1$, а коэффициентов почему-то $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 19:14 


08/05/14
30
nnosipov в сообщении #860976 писал(а):
StahisT в сообщении #860965 писал(а):
$a_1 + a_2t + a_3t^2 + ... + a_kt^k = 0$
Подправьте и здесь: слагаемых в левой части $k+1$, а коэффициентов почему-то $k$.


Да точно, как начинающему программисту мне за это стыдно :-(

Что с этим делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 19:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ну, давайте порассуждаем. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $t=\cos{x} \in [-1,1]$. Значит, если те косинусы линейно зависимы, то найдутся такие коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_k$, не все равные нулю, для которых равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ будет иметь место при любом $t \in [-1,1]$. А бывает ли такое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 19:50 


08/05/14
30
nnosipov в сообщении #860989 писал(а):
Ну, давайте порассуждаем. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $t=\cos{x} \in [-1,1]$. Значит, если те косинусы линейно зависимы, то найдутся такие коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_k$, не все равные нулю, для которых равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ будет иметь место при любом $t \in [-1,1]$. А бывает ли такое?


Мне кажется, что не будет. Крайние точки рассмотреть надо или как?

-- 09.05.2014, 19:57 --

nnosipov в сообщении #860989 писал(а):
Ну, давайте порассуждаем. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $t=\cos{x} \in [-1,1]$. Значит, если те косинусы линейно зависимы, то найдутся такие коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_k$, не все равные нулю, для которых равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ будет иметь место при любом $t \in [-1,1]$. А бывает ли такое?


просто если t взять единичку, то тогда будет просто сумма коэффициентов. и она 0 только при всех нулевых. я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 20:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
StahisT в сообщении #861003 писал(а):
тогда будет просто сумма коэффициентов. и она 0 только при всех нулевых. я не прав?
Нет, конечно. Если сумма нескольких чисел равна нулю, то с какой стати все эти числа должны быть нулями?

Одним значением $t$ здесь не обойтись. Важно, что равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ выполняется при бесконечно многих значениях $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 20:48 


08/05/14
30
nnosipov в сообщении #861022 писал(а):
StahisT в сообщении #861003 писал(а):
тогда будет просто сумма коэффициентов. и она 0 только при всех нулевых. я не прав?
Нет, конечно. Если сумма нескольких чисел равна нулю, то с какой стати все эти числа должны быть нулями?

Одним значением $t$ здесь не обойтись. Важно, что равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ выполняется при бесконечно многих значениях $t$.


Дошло, спасибо :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group