2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определитель.
Сообщение08.05.2014, 00:36 


02/10/12
91
Помогите найти определитель. Раскладывал по первой строке - получается рекурсивная формула. Но как такое решать?

\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 &  \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}

Если второй (в правой части) определитель разложить по первому столбцу - получится тоже самое что и при 2, только меньшего порядка.
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
 2 & 1 & \cdots & 0\\
 \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 01:27 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
oxid в сообщении #860402 писал(а):
Если второй (в правой части) определитель разложить по первому столбцу

А зачем? Это же треугольная матрица, ее определитель можно вычислить сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 04:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Pphantom в сообщении #860422 писал(а):
Это же треугольная матрица, ее определитель можно вычислить сразу.


Нет, там потом будут единицы на нижней побочной диагонали.

oxid в сообщении #860402 писал(а):
Но как такое решать?


Так и решать, $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$, $D_1=2$, $D_2=3$. Ищите решение в виде геометрической прогрессии, получите 2 варианта, общее решение — их линейная комбинация, коэффициенты находятся из начальных условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 06:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
oxid в сообщении #860402 писал(а):
Помогите найти определитель. Раскладывал по первой строке - получается рекурсивная формула. Но как такое решать?
Есть такой задачник: Проскуряков "Сборник задач по линейной алгебре". Загляните в параграф 5, там много интересного про вычисление определителей $n$-го порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 07:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 08:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
TOTAL в сообщении #860465 писал(а):
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$


Не сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
g______d в сообщении #860481 писал(а):
TOTAL в сообщении #860465 писал(а):
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$
Не сходится.
Что "не так"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 08:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А, нет, всё правильно, я просто долго не мог осознать, что $n=2(n-1)-(n-2)$.

-- Ср, 07 май 2014 22:55:32 --

Геометрическая прогрессия там получается со знаменателем 1, причем этот корень кратный, поэтому решения имеют вид $c_1 n+c_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение08.05.2014, 23:56 


02/10/12
91
TOTAL в сообщении #860465 писал(а):
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 &  0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0  &\cdots & 2
\end{vmatrix}
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$


С помощью прогрессии я решение нашел. Спасибо! А можете про это подробнее рассказать? Почему там 1 ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель.
Сообщение09.05.2014, 07:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
oxid, попробуйте вычитать столбцы слева направо. Ну, или строки сверху вниз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group