2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление простого P=3n+1 формой P=A^2-AB+B^2
Сообщение03.05.2014, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Часть 1.

Простое $P=3k+1 $ представимо формой $P=X^2-XY+Y^2 $, где $X,Y $ целые числа.
Причём
$$P=A^2-AB+B^2=A^2-A(A-B)+(A-B)^2=B^2-B(B-A)+(B-A)^2$

Пусть $g $ один из первообразных корней простого $P=3k+1 $. Обозначим

$$  \[
\varsigma _{\left( m \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} g^m } }  = \left\{ \begin{array}{l}
 \varsigma _{\left( 0 \right)}  \to m = 0\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \varsigma _{\left( 1 \right)}  \to m = 1\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \varsigma _{\left( 2 \right)}  \to m = 2\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]  $

$ \varepsilon  =  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,\varepsilon ^2  + \varepsilon  + 1 = 0,\varepsilon ^3  = 1 $

$$ \[
\begin{array}{l}
 \eta _{\left( 0 \right)}  = \varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2  \\ 
 \tilde \eta _{\left( 0 \right)}  = \varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon  \\ 
 \end{array}
\]  $

$$  \[
\eta _{\left( n \right)}  = \left\{ \begin{array}{l}
 \eta _{\left( 0 \right)}  \to n = 0\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \eta _{\left( 0 \right)} \varepsilon ^2  \to n = 1\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \eta _{\left( 0 \right)} \varepsilon  \to n = 2\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]  $

$$  \[
\tilde \eta _{\left( n \right)}  = \left\{ \begin{array}{l}
 \tilde \eta _{\left( 0 \right)}  \to n = 0\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \tilde \eta _{\left( 0 \right)} \varepsilon  \to n = 1\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \tilde \eta _{\left( 0 \right)} \varepsilon ^2  \to n = 2\left( {\bmod 3} \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]  $

Для всех $n $ произведение

$$  \[
\eta _{\left( n \right)} \tilde \eta _{\left( n \right)}  = \eta _{\left( 0 \right)} \tilde \eta _{\left( 0 \right)} 
\]  $

не зависит от $n $. Иначе, все изоморфизмы произведения в кольце $\mathbb{R}$$\[
\left( {e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right) \]  $ равны. Также равны и изоморфизмы произведения в кольце $\mathbb{R}$$(  \varepsilon )   $. Отсюда это произведение равно целому числу. (Теория чисел)
Покажем, что это произведение равно $ P  $.

$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} \tilde \eta _{\left( 0 \right)}  = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right)\left( {\varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon } \right) =
\]  $
$$  \[
 \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} ^2  + \varsigma _{\left( 1 \right)} ^2  + \varsigma _{\left( 2 \right)} ^2 } \right) - \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varsigma _{\left( 2 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varsigma _{\left( 0 \right)} } \right) = 
\]  $
$$  \[
 = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} } \right)^2  - 3\left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varsigma _{\left( 2 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varsigma _{\left( 0 \right)} } \right)
\]  $
Так как
$$  \[
\varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)}  =  - 1
\]  $
то
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} \tilde \eta _{\left( 0 \right)}  = 1 - 3\left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varsigma _{\left( 2 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varsigma _{\left( 0 \right)} } \right)
\]  $

Выражение в скобках равно целому числу, так как все изоморфизмы равны.

Из теории.
Пусть известно, что сумма $ \[\sum\limits_{k = 1}^t {e^{\frac{{2\pi i}}{P}a_k } } \]  $ равна целому числу и все
$a_k $ целые числа. Тогда сумму можно представить
$$  \[
\sum\limits_{k = 1}^t {e^{\frac{{2\pi i}}{P}a_k } }  = n + m\sum\limits_{k = 1}^P {e^{\frac{{2\pi i}}{P}k} }  = n - m
\]  $
где $ n  $ число показателей $a_k $ для которых $\[a_k  \equiv 0\left( {\bmod P} \right)\]$

Итак, в скобках выражение равно целому числу, число слагаемых равно $ \[
3\left( {\frac{{P - 1}}{3}} \right)^2  = \frac{{\left( {P - 1} \right)}}{3}^2 \]$
Найдём число членов с показателем, делящимся на $P$.
$$  \[
\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  = \sum\limits_{k,t = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} } e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3t} g} }  = \sum\limits_{k,t = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}\left( {g^{3k}  + g^{3t + 1} } \right)} } 
\]  $
$$  \[
g^{3k}  + g^{3t + 1}  \equiv 0\left( {\bmod P} \right) \to 1 + g^{3\left( {t - k} \right) + 1}  \equiv 0\left( {\bmod P} \right)
\]  $
Это последнее равенство возможно только если $$  \[ 3\left( {t - k} \right) + 1 = \left( {2s + 1} \right)\frac{{P - 1}}{2}\]  $
что невозможно. Следовательно, все слагаемые отличны от единицы. Аналогично и для двух других слагаемых в скобке.
Тогда
$$  \[
\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varsigma _{\left( 2 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  = \sum\limits_{i = 1}^{\frac{{\left( {P - 1} \right)^2 }}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}m_i } }  = \frac{{P - 1}}{3}\sum\limits_1^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}m} }  =  - \frac{{P - 1}}{3}
\]  $
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} \tilde \eta _{\left( 0 \right)}  = 1 - 3\left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varsigma _{\left( 2 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)} } \right) = P
\]  $
===

-- Сб май 03, 2014 20:21:52 --

Часть 2.
Из теории.
Если для целого числа в кольце $\mathbb{R}$$\[\left( {e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right) \]  $
$  \[ d \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right)} \right) \]  $, то $d \equiv 0\left( {\bmod P} \right)$
Если для многочлена с целыми коэффициентами
$f\left( 1 \right) \equiv 0\left( {\bmod P} \right) $, то $f\left( {e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right) \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right)} \right)$
Рассмотрим выражение
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} ^3  = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right)^3 
\]  $
Все его изоморфизмы в кольце $\mathbb{R}$$\[\left( {e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right) \]  $ равны.
Следовательно
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} ^3  = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right)^3  = c\left( {a + b\varepsilon } \right)\]  $
$a,b,c$-целые,$\left( {a,b} \right) = 1$ - (Из теории)
$$  \[
\tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3  = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon } \right)^3  = c\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right)
\]  $
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} ^3 \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3  = P^3  = c^2 \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) = c^2 \left( {a^2  - ab + b^2 } \right) \to c = 1,P
\]  $
Пусть $c=1$
Рассматривая $\eta _{\left( 0 \right)}  $ как многочлен от ${e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } $ имеем
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} \left( 1 \right) = \frac{{P - 1}}{3} + \frac{{P - 1}}{3}\varepsilon  + \frac{{P - 1}}{3}\varepsilon ^2  = 0 \equiv 0\left( {\bmod P} \right)
\]  $
Следовательно
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)}  \equiv \tilde \eta _{\left( 0 \right)}  \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right)} \right)
\]  $
$$  \[
\eta _{\left( 0 \right)} ^3  - \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3  = b\left( {\varepsilon  - \varepsilon ^2 } \right) \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right)} \right)
\]  $
$$  \[
\left( {\varepsilon ^2  - \varepsilon } \right)\left( {\eta _{\left( 0 \right)} ^3  - \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3 } \right) = 3b \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi i}}{P}} } \right)} \right)
\]  $
Отсюда
$b \equiv 0\left( {\bmod P} \right)$
А значит и $a$ должно делится на $P$, что невозможно по взаимной простоте $a,b$.
Итак, $c=P$
$a^2-ab+b^2=P$
=====

-- Сб май 03, 2014 20:23:29 --

Часть 3.

Окончательно получим:

$ P = 3k + 1$ - простое,$g$ - его первообразный корень.

$ \varepsilon  =  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,\varepsilon ^2  + \varepsilon  + 1 = 0,\varepsilon ^3  = 1 $

$$  \[
\varsigma _{\left( 0 \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} } } ,\varsigma _{\left( 1 \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} g} } ,\varsigma _{\left( 2 \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} g^2 } } 
\]  $

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 \eta _{\left( 0 \right)}  = \varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2  \\ 
 \tilde \eta _{\left( 0 \right)}  = \varsigma _{\left( 0 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon  \\ 
 \end{array} \right.
\] $

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 \eta _{\left( 0 \right)} ^3  = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \\ 
 \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3  = P\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]$

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 \eta _{\left( 0 \right)} ^3  - \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3  = Pb\left( {\varepsilon  - \varepsilon ^2 } \right) \\ 
 \eta _{\left( 0 \right)} ^3 \varepsilon  - \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3  = Pa\left( {\varepsilon  - 1} \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]$

$  P = a^2  - ab + b^2$

$$\[
a = \frac{{\eta _{\left( 0 \right)} ^3 \varepsilon  - \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3 }}{{P\left( {\varepsilon  - 1} \right)}},b = \frac{{\eta _{\left( 0 \right)} ^3  - \tilde \eta _{\left( 0 \right)} ^3 }}{{P\left( {\varepsilon  - \varepsilon ^2 } \right)}}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление простого P=3n+1 формой P=A^2-AB+B^2
Сообщение03.05.2014, 20:47 


29/10/11
94
Вы бы написали почему произвольное $p=1+52n$ представимо в виде $a^2+13b^2$, а $p=1+44n$ в виде $a^2+11b^2$ нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление простого P=3n+1 формой P=A^2-AB+B^2
Сообщение04.05.2014, 15:28 


04/05/14
6
Добрый день.

Мой вопрос перекликается с задачей о четверках Эйлера. Вы предложили 4-х параметрическое решение этой задачи. Оно также подходит для частного случая четверок Эйлера

$X^3+Y^3=Z^3+T^3$

C помощью небольшой программы я нашел $40$ положительных решений и вычислил остаток от деления
выражения $(X^3+Y^3)$ на $9$. В остатках нет 2 (двойки), присутствуют только цифры $0,1,7,8$. Как показать, что сумма $(X^3+Y^3)$ не дает при делении на $9$ в остатке $2$ ?

Благодарю.

 i  Deggial: напоминаю, что согласно правилам форума, формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Формулы сейчас я оформил. В случае неоформления пост/тема пойдёт в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление простого P=3n+1 формой P=A^2-AB+B^2
Сообщение04.05.2014, 17:32 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  victor.l, замечание за оффтоп. Для подобных вопросов есть раздел "Помогите решить/разобраться".

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление простого P=3n+1 формой P=A^2-AB+B^2
Сообщение08.05.2014, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Исправлен в сообщении в первой части индекс
$\[
\left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varsigma _{\left( 2 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)} } \right) \to \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varsigma _{\left( 1 \right)}  + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varsigma _{\left( 2 \right)}  + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varsigma _{\left( 0 \right)} } \right)
\]$

:oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group