2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 00:43 


14/11/13
244
Добрый вечер!
Требуется выяснить, являются ли квадратичные формы $f$, $g$ и $h$ эквивалентными и если да, то найти линейную замену координат, переводящую одну форму в другую.
$f(x)=-x_1^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3-2x_3^2$

$g(x)=3y_1^2+26y_1y_2+10y_1y_3+7y_2^2+14y_2y_3+3y_3^2$

$h(x)=5z_1^2+10z_1z_2-8z_1z_3+6z_2^2-6z_2z_3-3z_3^2$

Эквивалентное преобразование не меняет определителя матрицы квадратичной формы, то есть необходимое условие эквивалентности двух квадратичных форм является равенство их детерминантов.
Тогда запишем матрицы квадратичных форм и найдём их определители:
$det\ F = det \begin{pmatrix}
-1 & -1& -1 \\ 
-1 & 0& -1 \\ 
-1 & -1& -2 \\ 
\end{pmatrix} = 1$
$det\ G = det \begin{pmatrix}
3 & 13& 5 \\ 
13 & 7& 7 \\ 
5 & 7& 3 \\ 
\end{pmatrix} = 144$
$det\ H = det \begin{pmatrix}
5 & 5& -4 \\ 
5& 6& -3 \\ 
-4 & -3& -3 \\ 
\end{pmatrix} = -36$
Все определители различны.
Тогда получается, что среди данных квадратичных форм нет эквивалентных. Это правильно? Ведь в условии задачи вроде бы подразумевается, что мы должны найти хотя бы одну эквивалентную пару...

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 00:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В моем справочнике то, что Вы называете эквивалентностью, называется подобием. Правда, указывается, что иногда это и эквивалентностью называют. А эквивалентны матрицы $A$ и $B$ одного и того же размера (необязательно квадратные) тогда, когда $B=SAT$, где $S$ и $T$ невырождены.

-- Вт май 06, 2014 01:01:34 --

И у Гантмахера тоже $A$ и $B=T^{-1}AT$ называются подобными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 01:07 
Аватара пользователя


16/03/14
21
SlayZar

Молодой человек, Вы так все домашние контрольные работы делаете? Вроде бы Высшая школа экономики, ну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 01:08 


14/11/13
244
svv в сообщении #859619 писал(а):
В моем справочнике то, что Вы называете эквивалентностью, называется подобием. Правда, указывается, что иногда это и эквивалентностью называют. А эквивалентны матрицы $A$ и $B$ одного и того же размера (необязательно квадратные) тогда, когда $B=SAT$, где $S$ и $T$ невырождены.

-- Вт май 06, 2014 01:01:34 --

И у Гантмахера тоже $A$ и $B=T^{-1}AT$ называются подобными.


Да, я брал информацию с википедии на странице квадратичных форм. Там тоже приведена эта формула, а ниже написано, что определитель должен быть одинаков.
Просто не совсем понятно, как эта формула поможет доказать, что квадратичные формы не эквивалентны...

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 01:30 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А квадратичные формы эквивалентны, когда их матрицы $A$ и $B$ связаны соотношением $B=S^{T}AS$, где $S$ невырожденная матрица. Поэтому никакого требования равенства определителей нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 01:41 


14/11/13
244
То есть это неверно в данном случае?
Изображение
И как тогда определить какие матрицы эквивалентны? Найти такую матрицу $S$ чтобы было выполнено соотношение $B=S^{T}AS$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 01:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Критерий эквивалентности действительных квадратичных форм.
Совпадение рангов и положительных индексов инерции является необходимым и достаточным условием эквивалентности действительных квадратичных форм. (Милованов, Алгебра и аналитическая геометрия)

-- Вт май 06, 2014 01:57:45 --

Ну, и если для каждой из двух эквивалентных форм известно преобразование, приводящее её к нормальному виду, то нетрудно получить и такое преобразование, которое переводит одну форму в другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение06.05.2014, 07:42 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  SlayZar, замечание за неоформление формул $\TeX$ом

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение08.05.2014, 01:14 
Аватара пользователя


08/05/14
1

(Оффтоп)

korobka
А разве в Высшей школе экономике запрещено пользоваться форумами? Насколько я знаю, пользоваться подобными ресурсами не запрещается, это личное дело каждого. Более того вы прекрасно знаете, что на форуме никто решать за вас не будет, а будут лишь подводить к решению, что же тут плохого? Возможно, ТС и сам считает, что таким действием портит репутацию ВШЭ - он ведь не написал в своем профиле "из ВШЭ". В конце концов в ВШЭ проходной балл на мат. специальности был не 300 и даже не за 290, так что не все студенты там одаренные, есть и среднестатистические студенты, к которым, возможно, и относится ТС

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность квадратичных форм.
Сообщение08.05.2014, 01:17 


29/08/11
1759

(Оффтоп)

Dinozavr_v_n0skax в сообщении #860416 писал(а):
korobka
А разве в Высшей школе экономике запрещено пользоваться форумами? Насколько я знаю, пользоваться подобными ресурсами не запрещается, это личное дело каждого. Более того вы прекрасно знаете, что на форуме никто решать за вас не будет, а будут лишь подводить к решению, что же тут плохого? Возможно, ТС и сам считает, что таким действием портит репутацию ВШЭ - он ведь не написал в своем профиле "из ВШЭ". В конце концов в ВШЭ проходной балл на мат. специальности был не 300 и даже не за 290, так что не все студенты там одаренные, есть и среднестатистические студенты, к которым, возможно, и относится ТС

+1

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group