2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 УМФ.найти инфимум
Сообщение04.05.2014, 13:42 


06/11/12
19
Добрый день.
Помогите пожалуйста с решением:
$\inf_{M}({\int_{\Omega}(|\bigtriangledown u|^2 + 2u)dx +\int_{|x|=1}u^2dS  })$
где $\Omega =[1<|x|<2,x=(x_1,x_2,x_3)]$
$M=[v\in H^1(\Omega):v=0,|x|=2]$
С чего начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение04.05.2014, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Я бы начал с чтения параграфа 19: "Вариационные методы" в задачнике Владимирова и Ко.

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение04.05.2014, 15:01 


10/02/11
6786
продифференцировать функционал $F(u)=\int_{\Omega}(|\bigtriangledown u|^2 + 2u)dx +\int_{|x|=1}u^2dS $
написать $\frac{d}{dt}\mid_{t=0}F(u+th)=0,\quad h\mid_{|x|=2}=0$
как я понимаю должна получиться краевая задача вида $u\mid_{|x|=2}=0,\quad (\frac{\partial u}{\partial n}+2u)\mid_{|x|=1}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение04.05.2014, 20:12 


06/11/12
19
Brukvalub
Прочитал,но как решать все еще не разобрался.Есть такая же задача для 2ух переменных,но указаний к решению нет

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение04.05.2014, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Выходит, злой препод задал вам задачу, ничего предварительно не объяснив? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение04.05.2014, 20:24 


06/11/12
19
Brukvalub
Ну этот преподаватель не в курсе нашей программы,сказал что вроде как знаний должно хватить

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение05.05.2014, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Как я понял, дело с мертвой точки не сдвинулось. Тогда берем книгу Михайлова "Диф. уравнения в частных производных" и читаем гл. 4, $1 п. 9. Также полезно порыться в книге Михлина "Вариационные методы в математической физике". Если и это не поможет, то положение гиблое...

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение06.05.2014, 10:32 


06/11/12
19
Brukvalub
Наверное гиблое.
Прочитал очень много умных слов,но как применять их на практике там особо не сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение06.05.2014, 11:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Хм. Ну да, задачка из серии: если соотв. теорию знать, то решается по шаблону, а если не знать -- то лучше бы её и не ставить.

Вот, допустим, в функционале никакого поверхностного интеграла нет, но зато на внутренней поверхности поставлено такое же условие Дирихле, как и на внешней. Тогда "всем известно", что минимум достигается на решении уравнения Пуассона $\Delta u\equiv1$ с граничными условиями Дирихле; ну как-то там через бесселя это решение выражается. Если по-прежнему нет поверхностного интеграла, но нет (как в задаче) и никакого граничного условия на внутренней сфере, то возникает тот же Пуассон, но уже с условием Неймана на внутренней сфере.

А если добавить поверхностный интеграл? -- а тогда условие Неймана превращается в некоторое условие третьего типа. Формальное варьирование функционала даёт:
$$\delta\Phi[u]=2\int\limits_{\Omega}\vec\nabla u\cdot\vec\nabla\delta u\,dx +2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS=$$
$$=-2\int\limits_{\Omega}\Delta u\,\delta u\,dx +2\int\limits_{|x|=1}\delta u\,\vec\nabla u\cdot\overrightarrow{dS}+2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS$$
$$=-2\int\limits_{\Omega}\Delta u\,\delta u\,dx +2\int\limits_{|x|=1}\delta u\,\frac{\partial u}{\partial\vec n}\,dS+2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS.$$
В силу произвольности $\delta u$ всё должно сокращаться, а ввиду известной независимости её значений внутри области и на границе сокращаться должны объёмные интегралы отдельно и поверхностные отдельно. Первое даёт уравнение Пуассона, второе же -- граничное условие $\frac{\partial u}{\partial\vec n}+u=0$ на внутренней поверхности (нормаль -- внешняя по отношению к области, т.е. внутренняя по отношению к самой сфере).

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение07.05.2014, 14:35 


06/11/12
19
ewert
Спасибо за объяснение.
Вопрос по обозначениям,$\delta$ это тот же оператор Лапласа?

 Профиль  
                  
 
 Re: УМФ.найти инфимум
Сообщение07.05.2014, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Mega31 в сообщении #860164 писал(а):
...
Вопрос по обозначениям,$\delta$ это тот же оператор Лапласа?
Смешно! Это знак вариации функционала.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group