2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определенный интеграл
Сообщение06.05.2014, 23:26 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, в каких случаях определенный интеграл суммы не равен сумме определенных интегралов?

То есть, в каких случаях нарушается равенство $$\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) dx + \int\limits_{c}^{b} f(x) dx$$

где $c \in [a;b]$.

Мыслей особо нет, думал про точки разрыва, но они же не причем.

Вопрос последовал от преподавателя по заданию "вычислить интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в ряд", была мысль о том, что отрезок интегрирования входит в область сходимости, поэтому можно почленно интегрировать (поэтому вообще можно интегрировать), но это же не ответ на первый вопрос...

Спасибо!


Как-то я криво сформулировал вопрос, так будет точнее:

В каких случаях $$\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{n} (x) dx \neq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b}  f_{n} (x) dx$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение06.05.2014, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Всегда выполняется. А вот степенные ряды почленно интегрировать можно только иногда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение06.05.2014, 23:38 


29/08/11
1759
kp9r4d в сообщении #860028 писал(а):
можно только иногда.

А когда нельзя? Не связано ли с областью сходимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение06.05.2014, 23:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Limit79
Можно, когда ряд равномерно сходится на отрезке интегрирования и все функции (члены) ряда интегрируемы на отрезке интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.05.2014, 00:11 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Вроде понял, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.05.2014, 00:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79
Для степенных рядов достаточно оговаривать "на круге (интервале) сходимости". Все остальные условия отсюда следуют автоматически.

В общем случае
Ms-dos4 в сообщении #860037 писал(а):
Можно, когда ряд равномерно сходится на отрезке интегрирования и все функции (члены) ряда интегрируемы на отрезке интегрирования.

достаточно интегрируемости каждого слагаемого, непрерывность не необходима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.05.2014, 00:27 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Otta

(Оффтоп)

Интересно, я исправил это через 30 секунд после написания сообщения, и всё равно "запалили" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.05.2014, 00:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ms-dos4

(Оффтоп)

Правда? :shock: Я вроде такой тормоз. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.05.2014, 00:49 


29/08/11
1759
Otta
Я своими словами написал, что отрезок интегрирования лежит в интервале сходимости ряда, думаю, будет достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.05.2014, 00:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.05.2014, 01:03 


29/08/11
1759
Otta
Пасиба! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group