2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 19:44 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Дана полуторалинейная функция $f$ в $\mathbb{C}^2$ с базисом $(e_1,e_2)$. Она задана матрицей $$A=\begin{pmatrix}
5+8i & 6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}$$
Требуется найти матрицы $A',A''$ в базисах $(e_1',e_2')$ и $(e_1'',e_2'')$ соответственно, где $e_1'=2e_1+ie_2, e_2'=ie_1+e_2,e_1''=3e_1+ie_2,e_2''=-ie_1+e_2$;
Верно ли я понимаю, что матрица $$A'=\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5+8i & 6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix}^{-1}$$
И какую роль в данной задаче играет фраза "полуторалинейная функция"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
MestnyBomzh в сообщении #858633 писал(а):
Верно ли я понимаю, что матрица $$A'=\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5+8i & 6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix}^{-1}$$
Нет, потому что это матрица полуторалинейной формы, а не оператора.

Напишите, что такое полуторалинейная функция на пространстве и как определяется матрица, задающая полуторалинейную функцию в некотором базисе.

Более правильный термин, кстати, "полуторалинейная форма"

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 21:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MestnyBomzh в сообщении #858633 писал(а):
И какую роль в данной задаче играет фраза "полуторалинейная функция"?

Ту, что это матрица именно формы, а не оператора. Матрица формы и матрица оператора преобразуются при замене базиса по разным законам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 21:43 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Функция $B(a,b)$ называется полуторалинейной формой, если она удовлетворяет четырем свойствам:
1) $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$
2) $B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z)$
3) $B(ax,y)=aB(x,y)$
4) $B(x,ay)=\bar{a}B(x,y)$
Матрица полуторалинейной формы называется матрица, для которой $b_{ij}=B(e_i,e_j)$
Тогда, в моем случае будет так:
$$B'=\begin{pmatrix}
B(2e_1+ie_2,2e_1+ie_2) & B(2e_1+ie_2,ie_1+e_2)\\ 
 B(ie_1+e_2,2e_1+ie_2)&B(ie_1+e_2,ie_1+e_2) 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B(2e_1,2e_1)+B(2e_1,ie_2)+B(ie_2,2e_1)+B(ie_2,ie_2) &B(2e_1,ie_1)+B(2e_1,e_2)+B(ie_2,ie_1)+B(ie_2,e_2) \\ 
B(ie_1,2e_1)+B(ie_1,ie_2)+B(e_2,2e_1)+B(e_2,ie_2) & B(ie_1,ie_1)+B(ie_1,e_2)+B(e_2,ie_1)+B(e_2,e_2)
\end{pmatrix}$$Ну а дальше раскладываем по вышесказанным четырем свойствам. Тогда верно ли я понимаю, что $$\begin{pmatrix}
5+8i &6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B(e_1,e_1) & B(e_1,e_2)\\ 
 B(e_2,e_1)& B(e_2,e_2)
\end{pmatrix}$$ И именно отсюда мы будем брать нужные нам значения для новой матрицы?

-- 03.05.2014, 22:49 --

Хмм, матрица не загрузилась полностью. Там я раскладывал по линейности суммы

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
MestnyBomzh в сообщении #858669 писал(а):
Ну а дальше раскладываем по вышесказанным четырем свойствам. Тогда верно ли я понимаю, что $$\begin{pmatrix}
5+8i &6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B(e_1,e_1) & B(e_1,e_2)\\ 
B(e_2,e_1)& B(e_2,e_2)
\end{pmatrix}$$ И именно отсюда мы будем брать нужные нам значения для новой матрицы?
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 22:08 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Благодарю!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group