2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Общее решение одного УРЧП
Сообщение16.04.2014, 17:35 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Есть дифференциальное уравнение в частных производных на функцию $g(x,y)$:
$2 g_y g_{xxy} g_{xx} g_{xy} - g_y g_{yyx} g_{xx}^2 - g_y g_{xxx} g_{xy}^2 + g_{xx}^2 g_{xy} g_{yy} - g_{xx} g_{xy}^3 = 0.$

Для него удается угадать решение (зависящее от двух произвольных функций одной переменной):
$g(x,y) = F_1 (x + F_2(y)).$

Старшая производная в уравнении - третья. Общее решение будет зависеть от трех произвольных функций (это можно доказать с помощью алгебраической техники).

Вот собственно хотелось бы его и найти, возможно воспользовавшись имеющимся решением. Было бы интересно услышать какие-нибудь соображения на этот счет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение22.04.2014, 12:22 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Угаданное решение $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y)).$ удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка: $-g_x g_{xy} + g_y g_{xx} = 0.$

Гипотетически исходное уравнение должно переписываться в терминах последнего дифференциального полинома. Но как это сделать непонятно.
Буду рад услышать любые предположения или гипотезы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение22.04.2014, 13:44 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Чуть более общее решение: $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y))+C_2x$. Оно удовлетворяет уже уравнению $-(g_x-C_2) g_{xy} + g_y g_{xx} = 0.$

Если искать решение в виде $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y))+C_2x^2+ C_3 x$, то получается ОДУ на $F_1$:
$$
2 {C_2}  F_1{}^{(3)}( x) F_1'(x)-C_1^2 F_1''( x){}^3-2 {C_2} F_1''( x){}^2=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение23.04.2014, 13:00 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Ага, хорошо - решение увеличивается на 1 константу.
Правда, до еще 1 функции долго шагать придется :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение23.04.2014, 18:02 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Не специалист, но систематический подход тут — групповой анализ ДУ. В мейпле есть целый пакет для нахождения симметрий, частных решений и. т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение24.04.2014, 14:47 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Да, собственно "угаданное" решение и было таким образом построено...

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение25.04.2014, 17:02 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Появление везде произвольной функции от $y$ наводит на мысль, что если $g(x,y)$ — решение, то мб $g(x,f(y))$ — тоже решение. И действительно, если обозначить через $L[g]$ оператор в левой части, непосредственно проверяется, что $L[g(x,f(y))]=f'^3(y)L_{x,z}[g(x,z)]|_{z=f(y)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение02.05.2014, 11:31 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Да, именно этот результат и получается с помощью группового анализа.
Собственно таким образом было и получено решение зависящее от двух произвольных функций:
1) Вначале Maple угадывает решение $g(x,y) = F_1(C_1 x + C_2 y)$.
2) Далее, оно расширяется до $g(x,y) = F_1(C_1 x + F_2(y))$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group