2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 03:09 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Нашел такую задачку: найти сумму интегралов: $$\int\limits_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \sin(x^2) dx + \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{\arcsin(x)} dx$$

Есть мысль: каким-то образом преобразовать интегралы, чтобы они потом сократились, и осталось только некоторое число, только каким образом преобразовывать - не знаю :?:

Натолкните на мысль, пожалуйста :|

(Оффтоп)

Задача с вступительного экзамена в Школу анализа данных Яндекса.


PS. Развиваю мысль:

В первом интеграле: $$t=\sin(x^2) \Rightarrow \int\limits_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \sin(x^2) dx  = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{tdt}{2 \sqrt{\arcsin(t)} \sqrt{1-t^2}}$$

Пределы получились как у второго, вот только как второй бы преобразовать?... Или я вообще не в ту сторону думаю?

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 03:19 


21/10/13
86
Не берусь утверждать в четыре часа ночи по Москве, но быть может, стоит попробовать корень из арксинуса взять по частям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 03:33 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Кажется, вы ошиблись в преобразовании, в числителе нет t, там $\[\int\limits_{\sqrt {\frac{\pi }{6}} }^{\sqrt {\frac{\pi }{3}} } {\sin {x^2}dx}  = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{2\sqrt {\arcsin t} \sqrt {1 - {t^2}} }}} \]$. Тогда интегрируя арксинус по частям (как верно отметил hjury) $\[\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\sqrt {\arcsin x} dx}  = \left. {x\sqrt {\arcsin x} } \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dx}}{{2\sqrt {\arcsin x} \sqrt {1 - {x^2}} }}} \]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 07:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Задача геометрически решается. Функции-то взаимно обратные. Запишите один интеграл через $y$ и нарисуйте соответствующую площадь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 14:10 


29/08/11
1759
hjury
Ms-dos4
Точно, но, вроде, $t$ есть в числителе, да и если второй интеграл брать по частям, то $dv=dx \Rightarrow v= x$.

provincialka в сообщении #857478 писал(а):
нарисуйте соответствующую площадь

Соответствующую чему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 14:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79 в сообщении #857588 писал(а):
Соответствующую чему?

Первый интеграл соответствует какой площади?
Нарисовали.
Второй какой? Тоже умеем рисовать. Так вот нарисуйте первый на оси $Ox$, а второй - на $Oy$. Трепетно отнесясь к подынтегральным функциям и их графикам.
provincialka в сообщении #857478 писал(а):
Функции-то взаимно обратные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Соответствующую интегралу. Геометрический смысл интеграла - площадь криволинейной трапеции под графиком функции. Так вот, надо одну функцию нарисовать в координатах $x,y$, а другую - в координатах $y,x$. Например, во втором интеграле переобозначьте переменную через $y$. Тогда криволинейная трапеция получится "лежачая". А вот криволинейные части границ у обоих совпадут.
Ответ находится в уме за полминуты: $\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\sqrt{\dfrac{\pi}{6}} \cdot\dfrac{1}{2}$

А, уже написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 14:23 


29/08/11
1759
Otta в сообщении #857590 писал(а):
Так вот нарисуйте первый на оси $Ox$, а второй - на $Oy$.

То есть нарисовать графики $x(y) = \sin(y^2)$ и $y(x) = \sqrt{\arcsin(x)}$ ? Если так, то они совпадают.

-- 01.05.2014, 15:28 --

Изображение

Тогда искомая площадь - сумма площадей этих криволинейных трапеций, то есть площадь этого прямоугольника, то есть $$ S = \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right ) \left ( \sqrt{\frac{\pi}{3}}-\sqrt{\frac{\pi}{6}} \right )$$.

Но вот что-то где-то путаю :/

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 14:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79
Возьмите в руки карандаш и нарисуйте все это добро на бумаге.
На Вашей картинке нужных криволинейных трапеций нет и в помине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 15:33 


29/08/11
1759
Otta
Нарисовал, получилось то же самое. Только у меня на рисунке еще видно начало координат, и искомая площадь будет находится как разница между большим и маленьким прямоугольником, теперь сошлось с ответом, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 15:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Дак вот именно, что криволинейная трапеция - с основанием на оси. А Ваша картинка старательно автоматически обрезана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 15:37 


29/08/11
1759
Ms-dos4 в сообщении #857469 писал(а):
$\[\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\sqrt {\arcsin x} dx}  = \left. {x\sqrt {\arcsin x} } \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dx}}{{2\sqrt {\arcsin x} \sqrt {1 - {x^2}} }}} \]$.


$$u=\sqrt{\arcsin(x)} \Rightarrow du = \frac{dx}{2 \sqrt{\arcsin(x)} \sqrt{1-x^2}}$$

$$dv=dx \Rightarrow v = x$$

То есть в самом последнем интеграле все таки будет еще икс (да и у Вас же написано $x \sqrt{\arcsin(x)}$).

-- 01.05.2014, 16:38 --

Otta в сообщении #857637 писал(а):
А Ваша картинка старательно автоматически обрезана.

Пределы на графике я вручную выставлял, специально, чтобы было лучше видно, а оказалось наоборот :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма определенных интегралов
Сообщение01.05.2014, 16:01 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Да, извините, $\[t\]$ там будет (в обеих интегралах). 4 часа ночи сказываются и на мне :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group