2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл
Сообщение21.04.2014, 12:07 
Аватара пользователя


21/09/13
57
Здравствуйте. Помогите пожалуйста с одной задачкой.
Пусть интеграл $\int_0^\infty f(x) $ сходится, тогда для всякого положительного $a$ сходится интеграл $\int_0^\infty e^{-ax}f(x)$ и $lim_{a \to 0} \int_0^\infty e^{-ax}f(x) =  \int_0^\infty f(x) $
Легко из признака Дирихле показать, что новые интегралы сходятся. Также у меня получается доказать такой предел, но для собственных интегралов. Соо-но если бы функция собственного интеграла от двух переменных (от верхнего предела и от коэффициента в степени e) стремилась по какой-нибудь переменной равномерно, то пределы можно было бы поменять местами, но у меня получается это доказать только из предположения, что интеграл от f сходится абсолютно. Больше идей нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение21.04.2014, 12:27 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Обозначим $F(x) = - \int \limits_x^\infty f(s)ds $
Тогда $f(x) = F'(x)$.
Предлагаю подставить это выражение в интеграл с экспонентой и проинтегрировать по частям. А вот потом уже можно переходить к пределу по параметру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение21.04.2014, 12:54 
Аватара пользователя


21/09/13
57
sup в сообщении #852533 писал(а):
Тогда $f(x) = F'(x)$.

Для этого не нужна непрерывность f?

А, ну множество точек разрыва с необходимостью является множеством меры ноль, а значит эти две функции равны почти везде, и интегралы от них равны.
Спасибо.

Хотя с другой стороны непонятно, почему F вообще диффиринцируема в этих точках разрыва f.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение21.04.2014, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
TopLalka в сообщении #852544 писал(а):
Хотя с другой стороны непонятно, почему F вообще диффиринцируема в этих точках разрыва f.
она там не дифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение21.04.2014, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
TopLalka
Понимается почти всюду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group