2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 18:36 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в $\mathbb{R}^4$
$\dot q_i=p_i,\dot p_i=-\omega_i{q_i}^2,i=1,2$ и $\dfrac{\omega_1}{\omega_2}$ - иррациональное число.
Соответствующее векторное поле $X_1=p_i\dfrac{\partial}{\partial{q_i}}-q_i{\omega_i}^2\dfrac{\partial}{\partial{p_i}}$
Определим векторное поле $X_2=q_i\dfrac{\partial}{\partial{q_i}}+p_i\dfrac{\partial}{\partial{p_i}}$
Коммутатор $[X_1,X_2]=0$. Таким образом, $X_1,X_2$ порождают в $\mathbb{R}^4$ интегрируемое распределение там, где $X_1,X_2$ линейно независимы.
(Т.е. всюду кроме точки $(0,0,0,0)$.) Через каждую точку линейной независимости проходит максимальное двумерное связное интегральное
многообразие этого распределения. Фиксируем точку линейной независимости $x_0\in{\mathbb{R}^4}$. Максимальное связное многообразие распределения,
проходящее через $x_0$ обозначим $M_2$. Обозначим $N_2=M_2\cup{(0,0,0,0)}$.
Докажите, что $N_2$ не замкнуто в $\mathbb{R}^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Я дочитал до слова "распределения", и не понял его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 19:38 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Наберите в поисковике "Распределение". Тут профессиональные дела.
В каждой точке задана 2-плоскость (она и определяет распределение), касательная к ней двумерная поверхность есть интегральное многообразие. Надо знать теорему Фробениуса, как минимум, чтобы понимать, что тут написано. Смысл вопроса в том, что интегрируемые системы (в смысле Фробениуса) могут не обладать первыми интегралами, satisfy?
А я хотел в олимпиадные задачи это поместить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

scwec в сообщении #851437 писал(а):
Наберите в поисковике "Распределение".

Набрал. Получил то, что иначе называют обобщённой функцией. При чём здесь это?

Если у вас термин из другой области - подскажите из какой, назовите учебник. Не надо заносчивости.

Все остальные слова я понимаю, и даже понимаю, что слово satisfy вы употребили неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 19:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2132

(Оффтоп)

Вот здесь то, что нужно для понимания.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%E0%F1% ... %F0%E8%FF)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 19:58 


10/02/11
6786
а разве нельзя выписать явно формулы, которые задают $N_2$ в параметрическом виде? $(t,s)\mapsto g^t_{X_1}\circ g^s_{X_2}(x_0)$

-- Пт апр 18, 2014 19:59:17 --

небось это многообразие там еще и всюду плотно заметает чего-нибудь :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 20:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

scwec в сообщении #851437 писал(а):
А я хотел в олимпиадные задачи это поместить.

Тогда надо было честно предупредить, что задача на теорию вероятностей (раз уж распределение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 20:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Вот если бы вопрос был $M^2$ не замкнуто в $\mathbb{R}^4$, тогда всё ведь ясно.
Специально добавил $(0,0,0,0)$, чтобы были затруднения.

-- Пт апр 18, 2014 21:27:09 --

ewert, и Вы туда же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 21:11 


10/02/11
6786
Интегральная кривая поля $X_1$ лежит всюду плотно на двумерном торе, который не проходит через ноль, эта кривая лежит в пересечении многообразия $M_2$ и этого тора.
Если многообразие $M_2$ не содержит тор, то доказательство закончено, если оно содержит тор, то оно с ним совпадает, что невозможно поскольку $0$ его предельная точка

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 21:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Да, это похоже на правду.
Поздравляю. Факт не очевидный, но предсказуемый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение18.04.2014, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

scwec в сообщении #851445 писал(а):
Вот здесь то, что нужно для понимания.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%E0%F1% ... %F0%E8%FF)

Всё, понял, спасибо. Ссылка у вас битая, правда. Правильная:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_(дифференциальная_геометрия)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение19.04.2014, 09:12 


10/02/11
6786
центральное понятие неголономной механики...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение20.04.2014, 08:16 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Согласен. Замечу только, что в данном примере распределение задается векторными полями $X_1,X_2$, а в неголономной механике неинтегрируемые распределения задаются 1-формами связи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение20.04.2014, 10:38 


10/02/11
6786
точка массы $m$ движется в $\mathbb{R}^3$ под действием идеальной связи $\dot z=ax\dot y+\dot x$ и сил с потенциалом $V=b(x^2+y^2+z^2)/2$; константы $a,b$ не равны нулю, $b>0$. Найти устойчивые по первому приближению положения равновесия и соответствующие частоты малых колебаний. $xyz$ -- стандартные декартовы координаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический осциллятор и неинтегрируемость
Сообщение21.04.2014, 08:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Задача интересная (хотя и не в русле начального вопроса)
Неголономность системы следует из того, что 1-форма, задающая связь $\omega=dx+axdy-dz$ неинтегрируема, поскольку $d\omega\wedge\omega=-adx\wedge{dy}\wedge{dz}\ne{0}$.
Далее, например, действуем по рецепту из книги Неймарка и Фуфаева "Динамика неголономных систем", §2 "Устойчивость и малые колебания неголономных систем вблизи состояний равновесия." стр.264 и далее

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group