Евклидово пространство.

[main.c]

В $n-$мерном евклидовом пространстве даны векторы $ e_1, e_2, ..., e_{n+1}$, причём $(e_i, e_j) < 0 $ при $i \neq j$. Доказать, что любые $n$ векторов данного пространства образуют базис.

Моё доказательство.
Возьмём любые $n$ векторов. Между всеми векторами тупой угол, значит объём n-мерного параллелепипеда построенного на этих векторах не равен нулю. Это значит, что определитель матрицы Грама не равен нулю, а это значит, что взятые $n$ векторов ЛНЗ, что и доказывает утверждение. В моём доказательстве меня смущает один момент - между всеми векторами тупой угол, значит объём n-мерного параллелепипеда построенного на этих векторах не равен нулю. Могу ли я так утверждать или нет?

[Munin]

main.c в сообщении #850985 писал(а):

Возьмём любые $n$ векторов. Между всеми векторами тупой угол, значит объём n-мерного параллелепипеда построенного на этих векторах не равен нулю.

Хотите я покажу вам 3 вектора с углами по 120°, объём 3-мерного параллелепипеда на которых равен нулю? :-)

[main.c]

Munin в сообщении #850990 писал(а):

main.c в сообщении #850985 писал(а):

Возьмём любые $n$ векторов. Между всеми векторами тупой угол, значит объём n-мерного параллелепипеда построенного на этих векторах не равен нулю.

Хотите я покажу вам 3 вектора с углами по 120°, объём 3-мерного параллелепипеда на которых равен нулю?

Хочу. Вот только я сомневаюсь, что у вас получится

[Munin]

$e_1=(1,0,0)$
$e_2=(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0)$
$e_3=(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0)$

[main.c]

Munin в сообщении #850999 писал(а):

$e_1=(1,0,0)$
$e_2=(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0)$
$e_3=(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0)$

А как здесь тогда доказывать?
Очевидно, что нужно как-то отталкиваться, от того, что векторов между которыми тупой угол дано $n+1$, а не $n$.

[AV_77]

main.c в сообщении #850985 писал(а):

Доказать, что любые $n$ векторов данного пространства образуют базис.

Это неверное утверждение.

[main.c]

AV_77 в сообщении #851047 писал(а):

main.c в сообщении #850985 писал(а):

Доказать, что любые $n$ векторов данного пространства образуют базис.

Это неверное утверждение.

Ну да, Вы правы, я хотел написать любые $n$ векторов из данного набора.

[nnosipov]

Очевидно, векторы $e_1,e_2,\dots,e_{n+1}$ зависимы. Пусть $k_1e_1+\ldots+k_ne_n+k_{n+1}e_{n+1}=0$ --- нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору. Докажите, что все коэффициенты либо неотрицательны, либо неположительны.

[iifat]

Этого, имхо, маловато. Доказать бы, что все ненулевые...

[provincialka]

Это будет следующий этап, довольно очевидный.

[main.c]

nnosipov в сообщении #851151 писал(а):

Очевидно, векторы $e_1,e_2,\dots,e_{n+1}$ зависимы. Пусть $k_1e_1+\ldots+k_ne_n+k_{n+1}e_{n+1}=0$ --- нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору. Докажите, что все коэффициенты либо неотрицательны, либо неположительны.

Я пробовал от противного, пусть $s$ первых коэффициентов неотрицательны, а остальные отрицательные, потом пробовал скалярно домножать на разные вектора, ни в одном случае не выходило ничего путного. Туда ли я вообще пошёл?

[nnosipov]

main.c в сообщении #851442 писал(а):

Туда ли я вообще пошёл?

Туда. Те, что с положительными коэффициентами, оставьте слева, а те, что с отрицательными, перенесите в правую часть. В итоге в обеих частях равенства будут только положительные коэффициенты. Теперь самое интересное: нужно догадаться, на что скалярно домножить обе части равенства. А хочется получить вот такую штуку: после домножения справа должно получиться число, допустим, неотрицательное, а слева --- наоборот, отрицательное. Вот такая вот мечта. И как же её достичь?

[main.c]

nnosipov в сообщении #851582 писал(а):

main.c в сообщении #851442 писал(а):

Туда ли я вообще пошёл?

Туда. Те, что с положительными коэффициентами, оставьте слева, а те, что с отрицательными, перенесите в правую часть. В итоге в обеих частях равенства будут только положительные коэффициенты. Теперь самое интересное: нужно догадаться, на что скалярно домножить обе части равенства. А хочется получить вот такую штуку: после домножения справа должно получиться число, допустим, неотрицательное, а слева --- наоборот, отрицательное. Вот такая вот мечта. И как же её достичь?

Домножим равенство на правую часть равенства, тогда справа будет длина какого-то вектора, она неотрицательная, а слева будет число неположительное, это значит, что левая часть равна нулю и правая часть тоже равна нулю. Левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда:
$k_1 = ... = k_s = 0$
И наша ЛК принимает вид:
$k_{s+1}e_{s+1} + ... + k_{n+1}e_{n+1} = 0$
Теперь достаточно скалярно домножить на вектор $e_1$. Слева получится неположительное выражение, равное нулю тогда и только тогда, когда:
$k_{s+1} = ... = k_{n+1} = 0$. Это означает, что система векторов ЛНЗ - пришли к противоречию, значит все коэффициенты неотрицательны(ну или неположительны, достаточно домножить на -1).

-- 19.04.2014, 10:45 --

Теперь пусть существует нетривиальная ЛК произвольных $n$ векторов, например:
$k_1e_1 + ... + k_ne_n = 0$
Это тоже самое, что:
$k_1e_1 + ... + k_ne_n + 0e_{n+1} = 0$ - нетривиальная ЛК. Из доказанного выше утверждения все её коэффициенты неотрицательны.
Теперь скалярно домножим на $e_{n+1}$. Слева будет неположительное число, которое равно нулю тогда и только тогда, когда:
$k_1 = ... = k_n = 0$, что и доказывает линейную независимость векторов. Вектора мы выбирали произвольно, значит любые $n$ векторов из данного набора ЛНЗ.

[nnosipov]

Ну что, по-моему, всё окей.