2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свертка квадратично суммируемых квадратично суммируема?
Сообщение16.04.2014, 11:02 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Как доказать, что если $a(n), b(n) \in l_2(\mathbb{R})$
т.е. квадратично суммируемые последовательности
$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} |a(n)|^2 < \infty \quad
\sum^{+\infty}_{n=-\infty} |b(n)|^2 < \infty $
то и последовательность
$  c(n)= \sum^{\infty}_{m=-\infty \ m \ne n} b(n-m) \, a(m) $
тоже квадратично суммируемая?

Если это утверждение неверно, то каким условиям должна удовлетворять
последовательность $b(n-m)$ чтобы при квадратичной суммируемости $a(n)$
последовательность $b(n)$ была квадратично суммируемой, и как доказать?
Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка квадратично суммируемых квадратично суммируема?
Сообщение16.04.2014, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
В терминах пространств $l_p$ ответ: $l_2$ недостаточно, нужно $l_1$.

Точное условие: последовательность должна быть последовательностью коэффициентов Фурье ограниченной функции на окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка квадратично суммируемых квадратично суммируема?
Сообщение16.04.2014, 11:19 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Спасибо за ответ. То есть для $b(n)$ должно
$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} |b(n)| < \infty $
А доказать то как, что в этом случае
из $a(n) \in l_2$ имеем $c(n) \in l_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка квадратично суммируемых квадратично суммируема?
Сообщение16.04.2014, 14:01 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Не подскажите точную ссылку, где прописано это точное условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка квадратично суммируемых квадратично суммируема?
Сообщение16.04.2014, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Divergence в сообщении #850394 писал(а):
$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} |b(n)| < \infty $
А доказать то как, что в этом случае
из $a(n) \in l_2$ имеем $c(n) \in l_2$?


Неравенство Юнга для свертки, http://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_ ... nvolutions

Divergence в сообщении #850438 писал(а):
Не подскажите точную ссылку, где прописано это точное условие?


Условие с преобразованием Фурье я сразу не нашел. В одну сторону очевидно, поскольку умножение на ограниченную функцию является ограниченным оператором в $L_2$ на окружности, преобразование Фурье переводит умножение в свертку и $L_2$ в $l_2$.

В другую тоже должно быть верно, но я пока не могу найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка квадратично суммируемых квадратично суммируема?
Сообщение16.04.2014, 21:41 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Спасибо за ссылку.
Спасибо за ссылку туда, даже без ссылки обратно. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group