2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение11.04.2014, 10:32 


14/01/11
2916
Вы согласны с утверждением, что параллельные плоскости при преобразовании подобия останутся параллельными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение11.04.2014, 10:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Утундрий в сообщении #848293 писал(а):
Затем, что они разные.

В данном контексте -- абсолютно одинаковые. Или, если угодно: параллелепипед -- это то и только то, что можно склеить из шести параллелограммов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение11.04.2014, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Утундрий в сообщении #848293 писал(а):
Затем, что они разные.
В приведённом рассуждении не используется по существу размерность пространства, так что всё одно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение11.04.2014, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
А, чьорд, я почему-то решил, что параллелепипед обязательно прямоуголен, а косоугольным его случаем является параллелограмм. И оба они одной размерности. Занятный заскок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение11.04.2014, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Утундрий в сообщении #848176 писал(а):
Предположим, что в эллипсе имеется вписанный кривосидящий прямоугольник.

Давайте уж сразу ""Ноль равен единице.
Проще будет делать выводы :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение11.04.2014, 17:58 


07/04/14
16
Добрый день. Простите что почти не появляюсь в теме, вдруг что-то дел прибавилось учебных.
Проверьте пожалуйста верность хода моих рассуждений. + У меня есть несколько вопрос по поводу задачи.

Исходное уравнение эллипсоида: $\frac {x^2}{3} + \frac {y^2}{12} + \frac {z^2}{1} = 1$, а уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. Преобразование координат: $\acute{x} = \alpha x$ и т.д. Преобразовываем координаты: $\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}, \beta = \frac{1}{\sqrt{12}}, \gamma = 1$. Тогда радиус должен быть равен $1$?

Со сферой, как я понимаю, искать надо максимум функции $V=xyz$, при конкретных условиях. Рассматривая максимум функции при условии $x^2 + y^2 + z^2 = 4R^2$ получил, что $V = \frac{8}{3\sqrt{3}} R^3$. Тут правда возник вопрос, как строго доказать, что это максимум (при моей попытке доказать это, вышло, что имеем наоборот, минимум [скорее всего ошибся]). Как потом вернуться от рассмотрения шара снова к эллипсоиду? Что будет с объёмом, радиусом?

И вот ещё, скажите, а если в качестве условия задать сразу уравнение эллипсоида, что мы тогда в ответе получим? Я получил 16 (точек?), правда понять какая из них экстремум не получилось, все вторые угловые миноры обнулились.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение11.04.2014, 18:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
AlterEgo в сообщении #848416 писал(а):
при условии $x^2 + y^2 + z^2 = 4R^2$

Откуда дровишки?
AlterEgo в сообщении #848416 писал(а):
Тут правда возник вопрос, как строго доказать, что это максимум (при моей попытке доказать это, вышло, что имеем наоборот, минимум [скорее всего ошибся]

А как объем искали? В паре слов?
AlterEgo в сообщении #848416 писал(а):
И вот ещё, скажите, а если в качестве условия задать сразу уравнение эллипсоида, что мы тогда в ответе получим? Я получил 16 (точек?), правда понять какая из них экстремум не получилось, все вторые угловые миноры обнулились.

Забываете, что надо смотреть на касательном пространстве. Иначе говоря, учитывать дифференциалы ограничений. Ну или вообще искать, не используя функции Лагранжа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение12.04.2014, 00:32 


07/04/14
16
Otta
Otta в сообщении #848423 писал(а):
Откуда дровишки?

Из формулы диагонали параллелепипеда: $d = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$, также $2r = d \Rightarrow$ условие, при котором достигается максимум $V$(параллелепипеда), примет вид: $x^2+y^2+z^2 = 4r^2$
Otta в сообщении #848423 писал(а):
А как объем искали? В паре слов?

Составил функцию Лагранжа, приравнял нулю первые производные, выполняя поочерёдные подстановки вывел, что $x^2=y^2=z^2$. Выполняем замену в условии, получаем, что $x= \frac{2}{\sqrt{3}}r \Rightarrow V=xyz=x^3=\frac{8}{3 \sqrt{3}}r^3$.
Взяв вторые частные производные, составил полный дифференциал $L= 2\lambda \frac{\delta^2L}{\delta x^2} + z\frac{\delta^2L}{\delta x\delta y} + y\frac{\delta^2L}{\delta x\delta z} + x\frac{\delta^2L}{\delta z\delta y}$. Вот сейчас перепроверял и выявил ошибку, я не рассмотрел все (точки?). Их, по моим соображениям, получается 6. Тут только тонкость в том, что нельзя получить конкретных значений (во всякому случае $ \lambda$ у меня выразить не получилось). Выйти из ситуации можно рассмотрев случаи $+/-$ для каждого аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение14.04.2014, 21:15 


07/04/14
16
Добрый вечер! Кто-нибудь может помочь с конечным оформлением решения задачи? Пазлы есть, но вот собрать картинку вместе - проблематично.

Чтобы быть более конструктивным, оглашу список моментов вызвавших трудности:
    1) Оформление аффинного преобразования, преобразующего уравнение эллипсоида в уравнение сферы.
    2) Конкретное значение объёма и метод доказательства его максимальности.
    3) По найденной мной формуле $V$пар, перенесшего аффинные преобразования: $\acute{V} = \lvert detA \rvert \cdot V$. Откуда взять матрицу аффинного преобразования?

Заранее благодарю!

P.S. Если не затруднит, подкрепляйте свой ответ примерами вычислений, хотя бы частично. Примеры воспринимаются значительно лучше слов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение15.04.2014, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Проще было написАть: "Бабушка, дай водицы испить, а так есть хочется, что и переночевать негде". :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
Сообщение15.04.2014, 15:51 


07/04/14
16
Brukvalub
Мне кажется, что вряд ли кто-то будет расписывать полное решение задачи, да и не принято это здесь (вроде бы). Так что я попытался минимизировать свои запросы и представить их в более конкретном виде, нежели "Вот пример, дайте решение". Тем более, что хоть что-то сам сделать могу.
Хотя в совокупности думаю всё равно 2/3 ответа выходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group