Квантовое действие и вектор его плотности-потока

[Lvov]

В данной теме речь пойдет о введении нового энергомеханического показателя микрочастицы, который можно назвать ее квантовым действием, а также функции квантового поля - вектора плотности-потока квантового действия поля микрочастицы.

Выражение для энергии квантованного волнового пакета фотона или другой частицы имеет вид $E=\hbar \omega.$ Выражение привычно при рассмотрении энергии фотона. В случае же частицы с ненулевой массой покоя величина $\omega$ является частотой осцилляции релятивистской волновой функции частицы.
Приведенное выражение удобно использовать, когда волновой пакет характеризуется постоянной частотой осцилляции (колебаний), однако оно неприемлемо, если частота изменяется во времени или волновой пакет содержит колебания нескольких частот. Для устранения указанного неудобства предлагается ввести в рассмотрение новую энергомеханическую характеристику волнового поля и его кванта - микрочастицы, являющуюся временным интегралом от плотности энергии и полной энергии частицы. Справедливо и обратное положение - временная производная от квантового действия должка бытьравна энергии частицы. В спектральном пространстве временное интегрирование сводится к делению указанного выражения на частоту $\omega$, и величина нового показателя, который условно назовем квантовым действием поля микрообъекта при постоянной частоте равна $\hbar.$ Но эта величина справедлива для квантованного поля, если же допустить, что в результате взаимодействия частиц могут появляться неквантованные поля, то их квантовое действие может оказаться не равным $\hbar.$ Например, при переходе атомного электрона в новое квантовое состояние имеет место ситуация, когда амплитуда электронного облака постепенно убывает в одном состоянии и увеличивается в другом состоянии. Можно услышать возражение - электрон переходит из одного в другое состояние скачкообразно. Но такая ситуация противоречит теории близкодействия и здравому смыслу. Например, расчеты КЭД показывают, что время жизни возбужденного атомного электрона, спонтанно возвращающегося в основное состояние составляет $10^{-(7\div9)}$ сек. Фактически это есть время нарастания волновой функции основного состояния от нуля до квантованного значения под действием электрического поля ядра и случайных вакуумных полей.

Касаясь динамических переменных частиц $Q\,\, (Q_ik)$ и их операторов, заметим, что в случае УКГ они фигурируют в выражениях вида

$$Q\,(Q_i)=\int \frac {\partial \psi^*} {\partial t} \hat {Q}\,(\hat {Q}_i)\psi\,dv.$$

При этом оператор заряда частицы равняется $e$, а оператор энергии $\frac{\partial} {\partial t}$. На основании сказанного в начале сообщения об отношении энергии и квантового действия частицы и приведенных операторов заряда и энергии частицы мы можем заключить, что оператор квантового действия с точностью до множителя $m/e$ совпадает с оператором заряда частицы.

Плотность вероятности обнаружения частицы и плотность потока вероятности хорошо известны для волновой функции Шредингера. Эти распределенные показатели волнового поля соответственно равны

$$I_0=\psi^*\psi, \,\,\,I_k=\frac {\hbar}{2im}(\psi^*\nabla\psi-\nabla\psi^*\psi).$$

Указанные выражения с точностью до множителя $e$ совпадают с плотностью заряда-тока частицы.
В случае уравнения Клейна-Гордона (УКГ) от комплексной волновой функции выражения для вектора плотности заряда-тока свободной частицы имееют вид

$$I_0=\frac {ie} m \,\left(\frac{\partial \psi^*} {\partial t} \psi -\psi^* \frac{\partial \psi} {\partial t}\right),\,\,\,I_k=\frac{ie} m\,\left(\frac{\partial \psi^*} {\partial x^k} \psi -\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x^k} \right).$$

Здесь и далее в релятивистских выражениях принято $\hbar=c=1.$
Что же касается вектора плотности вероятности - потока вероятности частицы, то их выражения и в этом случае с точностью до знака заряда и множителя $e^{-1}$ совпадают с вышеприведенными выражениями.
Выражения для тензора энергии-импульса УКГ имеет вид

$$T_{ik}=\frac 1 {2m} \left(\frac{\partial \psi^*} {\partial x^i} \frac{\partial \psi} {\partial x^k} + \frac{\partial \psi^*} {\partial x^k} \frac{\partial \psi} {\partial x^i} + \delta_{ik}(\frac {\partial \psi^*} {\partial x^l} \frac{\partial \psi} {\partial x^l} + m^2\psi^*\psi)\right).$$

Для оценки плотности квантового действия - потока действия поля микрочастицы автор предлагает использовать выражение для вектора плотности вероятности - потока вероятности обнаружения частицы, умноженное на $m,$ несмотря на то, что не удалось доказать равенства тензорной производной указанной величины тензору энергии-импульса.

Уважаемые участники форума, хотелось бы услышать Ваше мнение по данному вопросу.

[Helium]

Lvov в сообщении #848983 писал(а):

Но эта величина справедлива для квантованного поля, если же допустить, что в результате взаимодействия частиц могут появляться неквантованные поля, то их квантовое действие может оказаться не равным $\hbar.$ Например, при переходе атомного электрона в новое квантовое состояние имеет место ситуация, когда амплитуда электронного облака постепенно убывает в одном состоянии и увеличивается в другом состоянии. Можно услышать возражение - электрон переходит из одного в другое состояние скачкообразно. Но такая ситуация противоречит теории близкодействия и здравому смыслу.

Решения для водорода показывают , что переход между состояниями происходит не скачкообразно а через бесконечное множество промежуточных состоянии.
Я уже говорил об этом, но видимо мало кто обратил на это внимание.

Helium в сообщении #824473 писал(а):

Более того значения кратные 0.5 я выбрал произвольно так как в интервале между целыми значениями имеются множество промежуточных решений (не известно сколько если не квантовать то бесконечно много).

Helium в сообщении #824505 писал(а):

А вообще дробные квантовые числа я интерпретирую физически как внутренные энергетические состояния в атоме водорода без излучения или поглощения энергии.

[npduel]

Lvov в сообщении #848983 писал(а):

противоречит... здравому смыслу.

Де Кондильяк (1749):

Цитата:

Предмет здравого смысла встречается лишь в том, что легко и обычно, а дело умственного развития - постигать новые вещи.

В.В.Соловьёв (1883):

Цитата:

Всякая ограниченная голова может не только довольствоваться, но и гордиться своей ограниченностью, украсив её названием здравого смысла.

[Lvov]

npduel в сообщении #849100 писал(а):

Цитата:
Предмет здравого смысла встречается лишь в том, что легко и обычно, а дело умственного развития - постигать новые вещи.
В.В.Соловьёв (1883):
Цитата:
Всякая ограниченная голова может не только довольствоваться, но и гордиться своей ограниченностью, украсив её названием здравого смысла.

Убили вы меня г. npduel цитатами касательно термина "здравый смысл". А что скажите против термина-синонима "логичность".

По делу же хочу добавить пример не квантованных полей - это случайные вакуумные (нулевые) ЭМ колебания. Здесь не квантованы спектральные составляющие в прямоугольном объеме, равно как и другие функциональные состояния.

[Munin]

Lvov в сообщении #849226 писал(а):

По делу же хочу добавить пример не квантованных полей - это случайные вакуумные (нулевые) ЭМ колебания.

Не бывает.

То, что в физике называется "нулевыми колебаниями" или "вакуумными колебаниями", имеет квантово-полевую природу.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #848983 писал(а):

Для оценки плотности квантового действия - потока действия поля микрочастицы автор предлагает использовать выражение для вектора плотности вероятности

Плотностью действия $S$ является Лагранжиан $L$

$$ S = \int L \, \sqrt{-g} \, d_4 x, $$

он скалярный. Плотность действия - скаляр.

Если вам приспичило заполучить некий вектор как-то связанный с "плотностью действия", то нужно вычислить вариацию действия при инфинитезимальном преобразовании координат: $x'^{\mu} = x^{\mu} + \xi^{\mu}$. Искомым вектором будет

$$ J_{\mu} = T_{\mu \nu} \xi^{\nu}, $$

где $T_{\mu \nu}$ - тензор энергии импульса. В том случае когда $\xi^{\mu}$ является вектором Киллинга полученный ток $J_{\mu}$ будет сохраняющимся $\nabla_{\mu} J^{\mu} = 0$.

-------

Употребление слова "квантовый" в этой теме только с толку сбивает. Ничего квантового здесь нет.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #849587 писал(а):

Употребление слова "квантовый" в этой теме только с толку сбивает. Ничего квантового здесь нет.

Употребление слова "действие" - тоже.

[Утундрий]

А что уж говорить об

Цитата:

энергомеханическом показателе микрочастицы

[Munin]

Показатель - это в какую степень частицу надо возвести?

[Утундрий]

Я всего лишь хотел обратить внимание на и так впрочем очевидную неизлишнепонятность своеобразия излишневычурных словообозначений безотносительно к тому сколько при этом нужно было бы употребить запятых.

[Lvov]

Сначала объясню, зачем я предлагаю к рассмотрению новую величину - квантовое действие (иначе квантовая активность). Характерная особенность квантовых полей - их колебания или осцилляции. Новая величина определяет степень колебательной активности поля. Плотность квантового действия пропорциональна произведению квадрата амплитуды на частоту колебаний. Предлагаются формулы фактически те же, что используются для вычисления заряда и плотности заряда-тока, или формулы для вычисления плотности-потока вероятности обнаружения частицы.
Дело в том, что в случае УКГ заряд нейтральной частицы равен нулю, и формулы для его определения не работают. Не видел я в учебниках формул и для плотности вероятности обнаружения нейтральной частицы, описываемой УКГ. Но поле частицы при этом существует, и проявляет свою колебательную активность (квантовое действие по моей терминологии). Поэтому заряд частицы говорит о ней не все. Вычислять же квантовую активность нейтральной частицы я предлагаю при использовании прежних формул для электродинамических переменных, используя лишь положительно-частотную часть волновой функции. Об этом я уже говорил в теме "Волновое уравнение фотона в координатном представлении". Фотон - своего рода нейтральная частица.

Munin в сообщении #849257 писал(а):

То, что в физике называется "нулевыми колебаниями" или "вакуумными колебаниями", имеет квантово-полевую природу.

Вы, видимо, хотите сказать, что нулевые колебания квантованы. Я же считаю их не квантованными, а стохастическими, обладающими средним модулем заряда $e$ и средним квантовым действием $\hbar.$ Именно в этом случае можно утверждать, что в любом функциональном состоянии средне заряд и действие равны $e$ и $\hbar,$ и вакуумное состояние релятивистски инвариантно.

SergeyGubanov в сообщении #849587 писал(а):

1. Плотность действия (лагранжиан $L$) - скаляр.

2. Употребление слова "квантовый" в этой теме только с толку сбивает. Ничего квантового здесь нет.

3. Если вам приспичило заполучить некий вектор как-то связанный с "плотностью действия", то нужно вычислить вариацию действия при инфинитезимальном преобразовании координат: $x'^{\mu} = x^{\mu} + \xi^{\mu}$. Искомым вектором будет

$$ J_{\mu} = T_{\mu \nu} \xi^{\nu},$$

где $T_{\mu \nu}$ - тензор энергии импульса. В том случае когда $\xi^{\mu}$ является вектором Киллинга полученный ток $J_{\mu}$ будет сохраняющимся $\nabla_{\mu} J^{\mu} = 0$.

1. Здесь проблема с терминологией. Действительно термин действие в вариационном методе Лагранжа является другой величиной, нежели определяемое мною "квантовое действие". В методике Лагранжа действие не всегда имеет отношение к квантовой теории. Это теория поля в общем смысле.
Еще я предлагаю в качестве альтернативы термин "квантовая активность". Это интенсивность колебаний поля, - локальная и интегральная.

2. Почему квантовое действие (квантовая активность). Дело в том, что именно для квантованных полей характерны непрерывные колебения, интенсивность которых и определяют новые показатели. У квантованного волнового пакета интегральное квантовое действие (квантовая активность) равна постоянной Планка $\hbar.$

3. Термин "вектор Киллинга" я не встречал в квантовой теории. Насколько я понял у вас речь идет о соотношениях в римановом пространстве, фигурирующем в общей теории относительности. А вот термин "инфинитеземальные" матрицы в ТО фигурирует (в КЭД Ахиезера-Берестецкого) при взаимном преобразовании компонент многокомпонентной волновой функции в результате малого поворота системы координат.
Для вычисления же вектора "квантового действия" через тензор энергии-импульса, насколько я понимаю, надо проинтегрировать выражение последнего вдоль времени-подобной линии, выходящей из начала координат.
Касательно выражения "вам приспичило". Ввести новый показатель меня побудили проблемы, возникшие при проработке новой интерпретации квантовых явлений, где волновая функция рассматривается, как отражение показателя интенсивности вакуумного возбуждения.

Munin в сообщении #849654 писал(а):

Употребление слова "действие" - тоже.

Относительно термина "квантовое действие" я уже сказал выше. Он не вполне удачный, так как возникает путаница с действием в вариационной методике Лагранжа.

Утундрий в сообщении #849861 писал(а):

А что уж говорить об
Цитата из Lvov: "энергомеханическом показателе микрочастицы"

Показатель все же энерго-механический, его размерность та же, что у действия $\hbar.$ Его временная производная равна энергии.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #850033 писал(а):

3. Термин "вектор Киллинга" я не встречал в квантовой теории. Насколько я понял у вас речь идет о соотношениях в римановом пространстве, фигурирующем в общей теории относительности.

А использования числа $\pi = 3.1415...$ в квантовой теории вы встречали? Наверное да. Так вот векторные поля Киллинга относятся к ОТО примерно так же как число $\pi$ относится к квантовой теории.

[Munin]

Lvov в сообщении #850033 писал(а):

Сначала объясню, зачем я предлагаю к рассмотрению новую величину - квантовое действие (иначе квантовая активность).

Вот слово "действие" не трожьте, оно занято, - тогда будет всё пучком.

Lvov в сообщении #850033 писал(а):

Здесь проблема с терминологией. Действительно термин действие в вариационном методе Лагранжа является другой величиной, нежели определяемое мною "квантовое действие". В методике Лагранжа действие не всегда имеет отношение к квантовой теории.

Зато в квантовой теории - действие всегда имеет отношение к теории Лагранжа и/или теории Гамильтона. И не вам это менять.

Lvov в сообщении #850033 писал(а):

Термин "вектор Киллинга" я не встречал в квантовой теории. Насколько я понял у вас речь идет о соотношениях в римановом пространстве, фигурирующем в общей теории относительности.

Нет, вектор Киллинга бывает в любом случае непрерывных симметрий. В том числе, и в симметриях квантовой механики и теории поля (часто описываемых инфинитезимальными преобразованиями). По сути, инфинитезимальное преобразование симметрии и вектор Киллинга - одно и то же.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #850087 писал(а):

А использования числа $\pi = 3.1415...$ в квантовой теории вы встречали? Наверное да. Так вот векторные поля Киллинга относятся к ОТО примерно так же как число $\pi$ относится к квантовой теории.

SergeyGubanov, давайте попробуем разобраться в вашем сообщении о векторном поле Киллинга и цитируемом сообщении типа словесной эквилибристики. Вопрос в том, имеют ли ваши сообщения отношение к настоящей теме?

Вот определение из Математической энциклопедии:
"КИЛЛИНГА ВЕКТОР,
точнее-киллинга векторное поле, или инфинитезимальное движение, - поле скоростей (локальной) однопараметрич. группы движений риманова пространства М. Точнее, векторное поле Xна М наз. векторным полем Киллинга (к. в. п.), если оно удовлетворяет следующему уравнению Киллинга

$$L_Xg=0,$$

где $L_X$ - производная Ли по направлению X, a g- тензорное поле на М, определяющее структуру риманова пространства (риманова метрика). К. в. п. впервые были систематически изучены В. Киллингом, к-рый вывел также для них уравнение (*). В полном римановом пространстве любое к. в. п. полно, т. е. является полем скоростей однопараметрич. группы движений".

Это формальное определение мало что дает в понимании проблемы. Более того фигурирующее в тексте риманово пространство с его метрикой наводит на мысль, что здесь имеют место иные проблемы, нежели рассматриваемые в данной теме.
SergeyGubanov, если вы можете добавить какое-либо разъяснение, например, как определить векторное поле Киллинга в нашем случае, прошу вас сделать соответствующее сообщение.

Munin в сообщении #850118 писал(а):

вектор Киллинга бывает в любом случае непрерывных симметрий. В том числе, и в симметриях квантовой механики и теории поля (часто описываемых инфинитезимальными преобразованиями). По сути, инфинитезимальное преобразование симметрии и вектор Киллинга - одно и то же.

Г.Munin, поясните пожалуйста, имеет ли смысл в говорить о векторе Киллинга в аспекте рассматриваемой проблемы?

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #850376 писал(а):

SergeyGubanov, если вы можете добавить какое-либо разъяснение, например, как определить векторное поле Киллинга в нашем случае, прошу вас сделать соответствующее сообщение.

Тяжёлый случай конечно, но бывает хуже...

Векторы Киллинга пространства Минковского в декартовой системе координат:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 $$

Четыре генератора трансляции:

$$ \xi^{(0)}_{\mu} = \{ 1, 0, 0, 0\} $$

$$ \xi^{(1)}_{\mu} = \{ 0, 1, 0, 0\} $$

$$ \xi^{(2)}_{\mu} = \{ 0, 0, 1, 0\} $$

$$ \xi^{(3)}_{\mu} = \{ 0, 0, 0, 1\} $$

Три генератора поворота:

$$ \xi^{(4)}_{\mu} = \{ 0, 0, z, -y\} $$

$$ \xi^{(5)}_{\mu} = \{ 0, -y, x, 0\} $$

$$ \xi^{(6)}_{\mu} = \{ 0, -z, 0, x\} $$

Три генератора лоренцевского поворота (буста):

$$ \xi^{(7)}_{\mu} = \{ -x, c t, 0, 0\} $$

$$ \xi^{(8)}_{\mu} = \{ -y, 0, c t, 0\} $$

$$ \xi^{(9)}_{\mu} = \{ -z, 0, 0, c t\} $$

Итого десять векторов Киллинга в пространстве Минковского.