2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Факториальность в кольцах
Сообщение03.11.2007, 17:42 
Аватара пользователя


19/08/07
113
Краснодар
Известно что кольцо гауссовых чисел $Z[i]$ является факториальным т.е. любой элемент может быть представлен в виде произведения степеней простых элементов единственным образом(с точностью до порядка сомножителей).

Что можно сказать о других расширениях кольца целых чисел $Z[a]$
где например $a$ - корень уравнения $x^2 + b=0$ ; $b=±2; ±3; ±5$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.11.2007, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
В кольце $Z[\sqrt{-5}]$ разложение на простые множители не единственно:
$21=3\cdot 7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})$.

М.М.Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, "Наука", 1982.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.11.2007, 21:02 
Заслуженный участник


31/12/05
1406
В $Z[\sqrt{-3}]$ 2\cdot 2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}). Но оно не целозамкнуто, поэтому обычно рассматривают $Z[(1+\sqrt{-3})/2]$, а оно факториально.

Из целых квадратичных колец с отрицательными дискриминантами факториальны только $Z[\sqrt{-1}]$, $Z[\sqrt{-2}]$, $Z[(1+\sqrt{-3})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-7})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-11})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-19})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-43})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-67})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-163})/2]$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.11.2007, 23:18 
Аватара пользователя


19/08/07
113
Краснодар
Цитата:
Из целых квадратичных колец с отрицательными дискриминантами факториальны только
Является ли евклидовость кольца необходимой для факториальности?
Являются ли вышеперечисленные кольца евклидовыми?
Доказать что кольцо факториально можно, но как доказывается что нет других?

На сколько отличаются свойства квадратичных колец от свойств кольца целых чисел?
Может в них не верна теорема Ферма? :)

Какие кроме квадратичных есть факториальные\евклидовы расширения кольца целых чисел?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2007, 14:59 
Заслуженный участник


31/12/05
1406
enko писал(а):
Является ли евклидовость кольца необходимой для факториальности?
Нет.
enko писал(а):
Являются ли вышеперечисленные кольца евклидовыми?
Четыре последних - нет, остальные - да.
enko писал(а):
Доказать что кольцо факториально можно, но как доказывается что нет других?
Судя по тому, что это было доказано только в 1952 году, доказывается сложно.
http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
enko писал(а):
На сколько отличаются свойства квадратичных колец от свойств кольца целых чисел?
Может в них не верна теорема Ферма? :)
Не знаю. По крайней мере доказательство теоремы Ферма для $n=3$ наиболее естественным образом проводится в $Z[(1+\sqrt{-3})/2]$.
enko писал(а):
Какие кроме квадратичных есть факториальные\евклидовы расширения кольца целых чисел?
Не знаю. Алгебраическая теория чисел - очень сложная теория :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group