2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 10:19 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Задача:
Пусть $f_n$ и $f$ - измеримые по Лебегу на отрезке $[0,1]$ функции. Верно ли, что $f_n$ сходится к $f$ почти всюду на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $f_n$ сходится к $f$ по мере?

Как мне известно, в обе стороны неверно. В одну сторону, когда из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, контрпример я знаю. А вот в другую, думаю про такой пример: $f_n(x) = n ~\forall x \in [0,1]$. Ясно, что $f_n (x) \to +\infty$ при $n \to \infty$, тут поточечная сходимость влечет сходимость почти всюду. Но можно ли эту последовательность втиснуть в определение сходимости по мере? То есть в определении
$\forall \varepsilon > 0 ~\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| \ge \varepsilon\} \to 0$ при $n \to \infty.$
следует ли поменять знак на противоположный, ведь мы сходимся не к нулю, а к бесконечности? Если да, тогда можно построить отрицание этого определения, и мой пример вроде как подходит? :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 10:23 


10/02/11
6786
а учебник читать не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 10:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dosaev в сообщении #848967 писал(а):
следует ли поменять знак на противоположный, ведь мы сходимся не к нулю, а к бесконечности?

Вот именно что следует, и именно по этой причине. И тогда всё прекрасно сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 10:34 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Oleg Zubelevich в сообщении #848969 писал(а):
а учебник читать не пробовали?

Вы на что намекаете? Может быть, вы хотите сказать, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере на множестве конечной меры? Так вот, это не всегда верно, в случае предельной функции, принимающей бесконечные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 10:42 


10/02/11
6786
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 10:50 
Аватара пользователя


26/02/11
332
ewert в сообщении #848973 писал(а):
Dosaev в сообщении #848967 писал(а):
следует ли поменять знак на противоположный, ведь мы сходимся не к нулю, а к бесконечности?

Вот именно что следует, и именно по этой причине. И тогда всё прекрасно сходится.

Тогда $f_n$ сходится к $+\infty$ по мере, если
$\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| < \varepsilon\} \to 0 Ё(n \to \infty).$
Но
$\exist \varepsilon_0 = 150: ~\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| \ge \varepsilon_0\} = 1 \not = 0 Ё(n \to \infty).$ Следовательно, сходимости по мере нет. Верно?

-- Вс апр 13, 2014 10:51:52 --

Oleg Zubelevich
спасибо, но я только больше запутался. :-)

-- Вс апр 13, 2014 11:04:55 --

В КФ написано, что достаточно конечности меры множества, чтобы из "почти всюдусти" следовала "мера". Это меня еще больше запутало. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 12:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dosaev в сообщении #848981 писал(а):
Следовательно, сходимости по мере нет. Верно?

Верно с точностью до наоборот. Зачем Вы столь легко и непринуждённо обращаетесь со знаками неравенств?

Dosaev в сообщении #848981 писал(а):
В КФ написано, что достаточно конечности меры множества, чтобы из "почти всюдусти" следовала "мера". Это меня еще больше запутало. :-(

Вы что, даже и КФ не верите?... Но ведь им не надо верить -- их надо просто почитать: у них эта теорема не только сформулирована, но даже и доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 13:08 
Аватара пользователя


26/02/11
332
ewert в сообщении #849033 писал(а):
Зачем Вы столь легко и непринуждённо обращаетесь со знаками неравенств?

Хорошо, по порядку. Что значит, что последовательность $f_n$ сходится по мере к $+\infty?$ Это значит, что
$\forall \varepsilon > 0 ~\forall \delta > 0 ~\exists N \in \mathbb{N} ~\forall n \ge N \hookrightarrow \mu\{x \in [0,1]: |f_n(x)| < \varepsilon\} < \delta.$ Так? Теперь строим отрицание:

$\exists \varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 ~\forall N \in \mathbb{N} ~\exists n = n(N) \ge N \hookrightarrow \mu\{x \in [0,1]: |f_n(x)| <(?) \varepsilon\} \ge \delta.$
Если в самой мере не менять знак, то отрицанию не удовлетворить, и тогда действительно, пардон, я не прав. :roll:
ewert в сообщении #849033 писал(а):
Вы что, даже и КФ не верите?... Но ведь им не надо верить -- их надо просто почитать: у них эта теорема не только сформулирована, но даже и доказана.

Верю, но позвольте уточнить, это верно и для предельной функции, принимающей бесконечные значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 14:29 


10/02/11
6786
Dosaev в сообщении #848981 писал(а):
Тогда $f_n$ сходится к $+\infty$ по мере, если
$\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| < \varepsilon\} \to 0 Ё(n \to \infty).$

а это в каком учебнике такое определение содержится? просто любопытно

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 14:37 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Oleg Zubelevich в сообщении #849111 писал(а):
Dosaev в сообщении #848981 писал(а):
Тогда $f_n$ сходится к $+\infty$ по мере, если
$\mu\{x \in [0,1] : |f_n(x)| < \varepsilon\} \to 0 (n \to \infty).$

а это в каком учебнике такое определение содержится? просто любопытно

Ни в каком, я его сам переделал, для бесконечного случая по аналогии с $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 14:49 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dosaev в сообщении #848967 писал(а):
Задача:
Пусть $f_n$ и $f$ - измеримые по Лебегу на отрезке $[0,1]$ функции. Верно ли, что $f_n$ сходится к $f$ почти всюду на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $f_n$ сходится к $f$ по мере?

Как мне известно, в обе стороны неверно. В одну сторону, когда из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, контрпример я знаю. А вот в другую,

А в другую
Dosaev в сообщении #848981 писал(а):
достаточно конечности меры множества, чтобы из "почти всюдусти" следовала "мера".

По-моему, все прозрачно до безобразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 14:56 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Да, Колмогоров именно это и утверждает. Простите, что вспудрил вам мозги.

(Оффтоп)

Просто, кто-то меня обманул, а я повелся и начал выдумать контрпримеры... :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 14:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dosaev в сообщении #849114 писал(а):
я его сам переделал,

Ну просто аккуратнее надо переделывать: надо сказать что-то про эпсилон и убрать модуль.

Dosaev в сообщении #849077 писал(а):
Верю, но позвольте уточнить, это верно и для предельной функции, принимающей бесконечные значения?

Во-первых, один случай пересчитывается в другой непрерывной заменой. А во-вторых -- схема доказательства ровно такая же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость почти всюду
Сообщение13.04.2014, 15:08 
Аватара пользователя


26/02/11
332
ewert в сообщении #849125 писал(а):
Dosaev в сообщении #849114 писал(а):
я его сам переделал,

надо сказать что-то про эпсилон

$\forall \varepsilon > 0.$
ewert в сообщении #849125 писал(а):
и убрать модуль

Да, $+\infty$ же.
Dosaev в сообщении #849077 писал(а):
Верю, но позвольте уточнить, это верно и для предельной функции, принимающей бесконечные значения?

ewert в сообщении #849125 писал(а):
Во-первых, один случай пересчитывается в другой непрерывной заменой. А во-вторых -- схема доказательства ровно такая же.

Ясно, вот это мне и надо было, спасибо! :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group